noip2006 2^k进制数

设r是个2k进制数，并满足以下条件：

（1）r至少是个2位的2k进制数。

（2）作为2k进制数，除最后一位外，r的每一位严格小于它右边相邻的那一位。

（3）将r转换为2进制数q后，则q的总位数不超过w。

在这里，正整数k（1≤k≤9）和w（k<W< span>≤30000）是事先给定的。

问：满足上述条件的不同的r共有多少个？

我们再从另一角度作些解释：设S是长度为w 的01字符串（即字符串S由w个“0”或“1”组成），S对应于上述条件（3）中的q。将S从右起划分为若干个长度为k 的段，每段对应一位2k进制的数，如果S至少可分成2段，则S所对应的二进制数又可以转换为上述的2k进制数r。

例：设k=3，w=7。则r是个八进制数（23=8）。由于w=7，长度为7的01字符串按3位一段分，可分为3段（即1，3，3，左边第一段只有一个二进制位），则满足条件的八进制数有：

2位数：高位为1：6个（即12，13，14，15，16，17），高位为2：5个，…，高位为6：1个（即67）。共6+5+…+1=21个。

3位数：高位只能是1，第2位为2：5个（即123，124，125，126，127），第2位为3：4个，…，第2位为6：1个（即167）。共5+4+…+1=15个。

所以，满足要求的r共有36个。

输入描述 Input Description

只有1行，为两个正整数，用一个空格隔开：

k W

输出描述 Output Description

共1行，是一个正整数，为所求的计算结果，即满足条件的不同的r的个数（用十进制数表示），要求最高位不得为0，各数字之间不得插入数字以外的其他字符（例如空格、换行符、逗号等）。

（提示：作为结果的正整数可能很大，但不会超过200位）

样例输入 Sample Input

3 7

样例输出 Sample Output

36

这道题是较为明显的数位dp；

定义f[i][j]为i位数且最高位为j的数有多少个。

f[i][j]=sum(f[i-1][o]);j<o<2^k

推导过程：

因为题目中要求数每一位严格小于它右边相邻的那一位，所以f[i][j]只能由大于j的状态转移而来；

举个例子，最高位为3（k=3，w=7，i=2） 3x的x只能为4,5,6,7

即f[2][3]=f[1][4]+f[1][5]+f[1][6]+f[1][7];

但这样f数组所占空间太大，因使用滚动数组；

我们可以看到f[i][j]在推出所有f[i+1]后就没有用处了，所以可以设一个空间为[2]交换储存即可；

然而又有问题出现了，我们的答案是满足条件的数的个数，而在滚动时就会把应该计入考虑的数覆盖，怎么解决呢?

方法是:用ans在dp同时添加（不理解请阅读代码）

接着是优化时间，因为每次求的都是一段区间的和，可用前缀和；（不会者自行百度）

另一种优化方法

因为：

f[i][j]=f[i-1][j+1]+...+f[i-1][2^k-1];

f[i][j-1]=f[i-1][j]+...+f[i-1][2^k-1];

所以f[i][j]+f[i-1][j]=f[i][j-1]

f[i][j]=f[i][j-1]-f[i-1][j];

最后我们注意到了题目里一句关键的话，答案在200位以内；

要使用高精度计算，笔者用了压位高精度，重载运算符和vector不定长数组，读者自行编程时可不必用到这些。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<vector>
using namespace std;
const long long mod=1e16;
struct BIGNUM
{
    vector<long long>a;
    BIGNUM operator+(const BIGNUM &b)const{
        BIGNUM c;
        c.a.clear();
        for(long long i=,g=;;i++)
        {
            if(!g&&i>=a.size()&&i>=b.a.size()) break;
            if(i<a.size()) g+=a[i];
            if(i<b.a.size()) g+=b.a[i];
            c.a.push_back(g%mod);
            g/=mod;
        }
        return c;
    }//高精度加
    BIGNUM operator-(const BIGNUM &b)const{
        BIGNUM c;
        c.a.clear();
        for(long long i=,g=;;i++)
        {
            if(!g&&i>=a.size()&&i>=b.a.size()) break;
            if(i<a.size()) g+=a[i];
            if(i<b.a.size()) g-=b.a[i];
            if(g<) c.a.push_back(g+mod),g=-;
            else c.a.push_back(g),g=;
        }
        return c;
    }//高精度减
}f[][],ans;//重载运算符
int main()
{
    int k,w,n,pd=;
    scanf("%d%d",&k,&w);
    if(w<=k)
    {
        putchar('');
        return ;
    }//如果要求的位数比2^k的两位还小就没有数满足条件。
    n=w/k;w%=k;k=<<k;
    for(int i=;i<k;i++)
        f[i][].a.push_back(i);//由于只有一位，所以方案只能为1，又是前缀和
    for(int i=;i<=n;i++)
        for(int j=;j<k;j++)
        {
            f[j][~i&]=f[k-][i&]-f[j][i&];//滚动数组
            ans=ans+f[j][~i&];//dp中加和
            f[j][~i&]=f[j][~i&]+f[j-][~i&];//前缀和
        }
    w=<<w;n++;//这里是求最后一位的所能放的数
    for(int i=;i<w;i++)
    {
        f[i][~n&]=f[k-][n&]-f[i][n&];
        ans=ans+f[i][~n&];
    }
    for(int i=ans.a.size()-;i>=;i--)
        if(pd||ans.a[i])
    {
        if(pd) printf("%016lld",ans.a[i]);//防止中间有数字不到1e15
        else printf("%lld",ans.a[i]),pd=;
    }
    if(!pd) printf("");//输出并去前导0
    return ;
}