NOIp模拟赛 旅游

很神奇的一道题，金策大爷给的题解：

什么叫神犇什么叫蒟蒻？

IOI冠军的一句基本相同让我思考了一下午。

看完了题解我就想都没想开始用遍历二分图搞，但是搞到了65分后就总是会WA掉7组。

然后仔细的看了看std，位运算上对几处做了常数上的优化，读起来异常麻烦，到最后看懂他在干什么了。但是总是不理解。

下午浪费了两节英语课思考原理，总之想明白了。

我简单说一下我的想法。

首先考虑如果一条路径的所有边权的gcd为$d$,那么不管正着走反着走或者绕上几圈，其总路径和一定为$kd$,$k$为任意正整数。

这一点学过gcd应该都很好想到。那么很显然的一件事就是如果一张图中两个相通的点，从一个点到另一个点的总路径和也一定为$kd$，$d$为这个连通分量里所有边权的gcd。同样的，如果需要把答案mod$K$,只需要$d=gcd(K,d)$即可，最后的答案一定是$d$或者0。这点转化是这道题的第一步。但不是最重要的一步。

这时候就把问题转化为了从$node_i$到$node_j$是否存在一条路径，使得其总长为$cK$,$c$为任意正整数。如果存在，显然答案为0，如果不存在，那么答案就是$d$。同时，需要提前用并查集判断连通性。

首先，考虑$K$为奇数的情况，在这种情况下，只要两点联通，答案一定为0，因为如果K为奇数，而假设从$node_i$到$node_j$的最短路径为$h$,那么一定存在一个数$b$使得$bh=cK$,如果想到了这点。就能拿到20分的部分分。

然后我们是否应该考虑$K$为偶数的情况？

并不，相对来说有更通用的情况。回到前面，我们已经得出了如果把总路径$modK$,那么一定存在一种方案使得从$node_i$到$node_j$的长度为$d$,这时候如果$K$为$d$的奇数倍，那么显然答案为0。

再思考，既然$d$为这个连通分量里所有边权的gcd，这也就意味着所有边的边权都是$d$的整数倍，也就是说所有边都可以拆成任意整数个边权为$d$的边。而如果存在一个数使得$hd==cK$,那么答案就是0。

那么是否可以把每个点拆为$node_i$和$node_{i+N}$，其中的两个点集之间相连的边的长度是奇数个$d$,而任意一个点集里的点之间的边都是偶数个$d$,这个显然可以用并查集维护。

这时候如果$node_i$和$node_j$位于一个点集，显然其是存在为0的答案。

但是除此之外，还存在特殊的情况。如果从一个点到另一个点既存在奇数个$d$的路径，也存在偶数个$d$的路径。怎么处理？

这时候只需要把这个联通块标记即可，这个连通块的任意两点之间到达的答案均为0。

//NOIp 0924 pod
//by Cydiater
//2016.9.24
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#include <queue>
#include <map>
#include <ctime>
#include <cmath>
#include <iomanip>
#include <algorithm>
#include <string>
using namespace std;
#define ll long long
#define up(i,j,n)        for(int i=j;i<=n;i++)
#define down(i,j,n)        for(int i=j;i>=n;i--)
#define FILE "pod"
const int MAXN=1e6+5;
const int oo=0x3f3f3f3f;
inline int read(){
    char ch=getchar();int x=0,f=1;
    while(ch>'9'||ch<'0'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
int N,M,Q,LINK[MAXN],len=0,f[MAXN],f2[MAXN],tol[MAXN];
struct edge{
    int x,y,next,v;
}e[MAXN<<1];
bool OK[MAXN];
namespace solution{
    inline void insert(int x,int y,int v){e[++len].next=LINK[x];LINK[x]=len;e[len].y=y;e[len].v=v;e[len].x=x;}
    int gcd(int a,int b){return b==0?a:gcd(b,a%b);}
    int getf(int k){
        if(f[k]==k)        return k;
        f[k]=getf(f[k]);
        return f[k];
    }
    int getf2(int k){
        if(f2[k]==k)        return k;
        f2[k]=getf2(f2[k]);
        return f2[k];
    }
    void merge(int x,int y,int v){
        x=getf(x);y=getf(y);
        if(tol[x]!=0)v=gcd(v,tol[x]);
        if(tol[y]!=0)v=gcd(v,tol[y]);
        tol[x]=v;f[y]=x;
    }
    int merge2(int x,int y,int v){
        if(v==1){
            if(getf2(x)==getf2(y))        return 0;
            f2[getf2(x)]=getf2(y+N);
            f2[getf2(y)]=getf2(x+N);
        }else{
            if(getf2(x)==getf2(y+N))    return 0;
            f2[getf2(x)]=getf2(y);
            f2[getf2(x+N)]=getf2(y+N);
        }
        return 1;
    }
    void init(){
        N=read();M=read();Q=read();
        memset(tol,0,sizeof(tol));
        up(i,1,N){
            f[i]=i;f2[i]=i;
            f2[i+N]=i+N;
        }
        up(i,1,M){
            int x=read(),y=read(),v=read();
            insert(x,y,v);insert(y,x,v);
            merge(x,y,v);
        }
        up(i,1,M<<1){
            int x=e[i].x,y=e[i].y,v=e[i].v;
            int d=tol[getf(e[i].x)];
            int flag=merge2(x,y,(v/d)%2);
            if(!flag)OK[getf(x)]=1;
            i+=1;
        }
    }
    void slove(){
        while(Q--){
            int x=read(),y=read(),K=read();
            if(getf(x)!=getf(y))        puts("NIE");//unconnect
            else{
                int d=gcd(K,tol[getf(x)]);
                if((K/d)&1)                            puts("0");
                else{
                    if(OK[getf(x)])                    puts("0");
                    else{
                        if(getf2(x)==getf2(y))        puts("0");//same color
                        else                          printf("%d\n",d);
                    }
                }
            }
        }
    }
}
int main(){
    freopen(FILE".in","r",stdin);
    freopen(FILE".out","w",stdout);
    using namespace solution;
    init();
    slove();
    return 0;
}