[知识点]状态压缩DP

// 此博文为迁移而来，写于2015年7月15日，不代表本人现在的观点与看法。原始地址：http://blog.sina.com.cn/s/blog_6022c4720102w6jf.html

1、前言

       动态规划，永远的痛。

       好了不扯远了。状态压缩动态规划，其实看名字还是较好理解的。我们在动态规划的时候，最重要的就在于状态的设计和状态转移方程。那么，如果当我们状态过多导致时间或空间不够的饿时候，就可以用到状态压缩。王队（@wyh2000）说状态压缩DP难起来的话会很难，但是今天我们只讲最最最基础的状态压缩方式，以后再慢慢补充。

 

2、区别

       ①有一个1*n的棋盘(n<=80)，需要在上面放置k个棋子，使棋子之间不相邻，求方案数。

           那么这是一道很简单的棋盘型DP。设f[i][j][0]为前i个放置j个棋子的方案数且第i位必放，f[i][j][1]为前i个放置j个棋子的方案数且第i位必不放。则存在方程：

                   

       ②有一个m*n的棋盘(n*m<=80)，需要在上面放置k个棋子，使棋子之间不相邻，求方案数。

           多了一个行的状态，这就让人费解了——我们并不能设置一个四维方程来表示状态。原来我们每一行只有一个格子，现在多个格子怎么表示呢？这里就要用到状态压缩了。这里提到的状态压缩的方式只是其中一种，相对比较简单的一种——二进制转换。我们注意到题目有一个特别鬼畜的数据范围——n*m<=80。这意味着什么？9*9=81>80，则min(n,m)的最大值为8。我们将m,n中较小的一个看做行（易得行列转换依旧等价），一行至多8个格子，我们令当前状态下格子若放置了棋子则记为1，未放置记为0，那么我们可以将一行的状态表示为一个二进制数，继而在状态转移的时候再转换为十进制。前文提到了最多8个数，所以数组中数值最大为2^8=256。设f[i][j][k]表示当前第i列，使用了j个棋子，当前行的状态为k（一个由二进制数转换过来的十进制数），则状态转移方程为：

        
            其中k`表示上一行的状态，num(k)表示在当前行状态为k的情况下棋子的总个数。

            当然我们要注意——如何判断当前这一行与上一行是否存在相邻的棋子？利用按位异或即可。见代码。

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#include cstdio
#include cstring
#include algorithm
using namespace std;

 

long long f[81][1<<9][21];

 

inline int getNum(int x)
{
        int s=0,tmp=0;
        while (x)
        {
                if (s && (x & 1)) return -1;
                if (s=(x & 1)) tmp++;
                x=x>>1;
        }
        return tmp;
}

 

int main()
{
        int n,m,t;
        while (scanf("%d %d %d",&n,&m,&t)!=EOF)
        {
                if (n<m)  swap(n,m);
                memset(f,0,sizeof(f));
                f[0][0][0]=1;
                for (int i=1;i<=n;i++)
                        for (int r=0;r<=t;r++)
                                for (int j=0;j<(1<<m);j++) // 当前的状态 
                                {
                                        int num=getNum(j); // 棋子个数 
                                        if (num==-1 || num>r) continue;
                                        for (int k=0;k<(1<<m);k++) // 上次的状态转移 
                                        {
                                                if (getNum(k)==-1 || k&j) continue;
                                                f[i][j][r]+=f[i-1][k][r-num];
                                        }
                                }
                long long ans=0;
                for (int i=0;i<(1<<m);i++) ans+=f[n][i][t];
                printf("%lld\n",ans);
        }
        return 0;
}

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3、例题

分析：同样地，这道题用f[i][j][k]表示从（1,1）到（i,j）子矩阵中当所走路径状态为k的时候所得的最小权值，那么状态则是根据所走路径转换为二进制在转换为十进制来转移，就不多说了，看代码。

 

代码：

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#include<cstdio>
#include<cstring>
#define MAXN 11
#define INF 0x3f3f3f3f

 

int min(int a,int b) { return (a<b)?a:b };
 
const int two[MAXN]={1,2,4,8,16,32,64,128,256,512};

int map[MAXN][MAXN],f[MAXN][MAXN][(1<<10)+1],ans,ret,tot;

 

int getNum(int ki,int now)
{
        int temp=ki;
        for (int i=9;i>=0;i--) if (temp>=two[i]) { temp-=two[i]; if (i==now) return ki; }
        return (ki+two[now]);
}

 

int main()
{
        memset(f,INF,sizeof(f));
        for (int i=1;i<=10;i++)
                for (int j=1;j<=10;j++) scanf("%d",&map[i][j]);
        int t1=two[map[1][1]],t2=0;
        f[1][1][t1]=map[1][1];
        for (int i=2;i<=10;i++) 
        {
                t2=getNum(t1,map[1][i]);
                f[1][i][t2]=f[1][i-1][t1]+map[1][i];
                t1=t2;
        }
        t1=two[map[1][1]];
        for (int i=2;i<=10;i++) 
        {
                t2=getNum(t1,map[i][1]);
                f[i][1][t2]=f[i-1][1][t1]+map[i][1];
                t1=t2;
        }
        for (int i=2;i<=10;i++)
                for (int j=2;j<=10;j++)
                {
                        for (int ki=1;ki<=(1<<10)-1;ki++)
                        {
                                if (f[i-1][j][ki]==INF) continue;
                                int k=getNum(ki,map[i][j]);
                                f[i][j][k]=min(f[i][j][k],f[i-1][j][ki]+map[i][j]);
                        }
                        for (int ki=1;ki<=(1<<10)-1;ki++)
                        {
                                if (f[i][j-1][ki]==INF) continue;
                                int k=getNum(ki,map[i][j]);
                                f[i][j][k]=min(f[i][j][k],f[i][j-1][ki]+map[i][j]);
                        }
         }
        for (int i=1;i<=1023;i++) if (f[3][3][i]!=INF) printf("i=%d %d\n",i,f[3][3][i]);
        printf("%d",f[10][10][1023]);
        return 0;
}

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