http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2138

题意:给n个数判断有几个素数。(每个数<=2^32)

#include <cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll ipow(ll a, ll b, ll m) { ll x=1; for(; b; b>>=1, (a*=a)%=m) if(b&1) (x*=a)%=m; return x; }
ll rand(ll a, ll b) {
static const ll M=1e9+7, g=154865266;
static ll now=1283901ll;
return a+((now*=g)%=M)%(b-a+1);
}
bool check(ll x) {
if(x==2 || x==3 || x==5 || x==7 || x==11 || x==13) return 1;
if(x<2 || (x&1)==0 || (x%3)==0 || (x%5)==0 || (x%7)==0 || (x%11)==0 || (x%13)==0) return 0;
int cnt=0;
ll d=x-1; while((d&1)==0) d>>=1, ++cnt;
for(int T=1; T<=50; ++T) {
int a=rand(2, x-1);
ll t=ipow(a, d, x), pre;
for(int i=1; i<=cnt; ++i) { pre=t; (t*=t)%=x; if(t==1 && pre!=1 && pre!=x-1) return 0; }
if(t!=1) return 0;
}
return 1;
}
int main() {
int n;
while(~scanf("%d", &n)) {
int ans=0;
for(int i=1; i<=n; ++i) { int a; scanf("%d", &a); if(check(a)) ++ans; }
printf("%d\n", ans);
}
return 0;
}

  

学习了素数检测= =Miller-Rabin...复杂度$O(k log^3 n)$,k是选的$a$的个数

其实基于两个定理:费马小定理和二次探测...

首先如果$n$是奇素数,那么显然对于所有的$1 \le a < n$,都有$a^{(n-1)} \equiv 1 \pmod{n}$,那么我们马上可以得到一个暴力算法= =(比枚举约数还慢系列= =

然后用那啥二次探测定理然后随机选一些$a$然后一定概率来检测$n$= =(听说单次检测是$3/4$的概率= =那么多次检测成功率很高= =$n$次的能检测出来的概率就是$1 - \left( \frac{1}{4} \right) ^n$

二项探测就是指如果$n$是素数,则$x^2 \equiv 1 \pmod{n}, 0<=x<n$的只有就是$x = 1 或 x = n-1$

证明:容易得到$p | (x+1)(x-1)$。而由于$p$是质数,所以$(x+1)$和$(x-1)$中至少一个被$p$整除。那么容易得到$x = \pm 1$,即$x \equiv 1 或 x \equiv n-1$

然后我们就将$n-1$分解成$2^sd$其中$d$为奇数。这样我们从$a^d$开始向上算,每一次平方一次,如果等于$1$而上一次却不等于$\pm 1$,那么为合数。

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