Wolsey“强整数规划模型”经典案例之一单源固定费用网络流问题

阅读本文可以理解什么是“强”整数规划模型。

单源固定费用网络流问题见文献[1]第13.4.1节（p229-231)，是"强整数规划建模“的极好案例。

本文是本博客原创，本博客不转贴他人作品。

单源固定费用网络流问题（The Signle Source Fixed Charge Network Flow Problem)

单源固定费用网络流问题：给定一个有向网络 (边数为m,节点数n)，网络上只有一个流量流入节点（标记为1），但有若干个流量流出节点, 节点 i 的流出流量标记为 B[i], 每个边 e (e =1,...,m) 有流量限制（此例中不考虑流量限制，因此流量限制取为-B[1]) 。网络情况如下图：

网络的节点数n=4, 边数m=8。

对应节点1，2，3，4，流（出）量B={ -6 2 3 4}。

对应边e=1,2,3,4,5,6,7,8, 边由节点对定义，数据是 E={(1 4) (1 2) (4 2) (1 3) (2 3) (3 2) (4 3) (3 4)}.

对应边e=1,2,3,4,5,6,7,8，边上的一次性费用是C={5 2 7 3 2 4 9 12}.

非“强”整数规划模型

设非负变量 x[e] 是边e (e =1,...,8) 上的流量，又设0-1变量 y[e] 表示边e上是否有流量。于是模型的目标是极小化一次性费用和，约束无外乎节点上的流量平衡约束和x[e]-y[e]之间的关联约束。

用+Leapms写出模型，其PDF摘录如下：

上述模型用+Leapms中的solve命令求松弛解，可以看到y变量非0-1:

+Leapms>solve

The LP is solved to optimal.

找到线性规划最优解.非零变量值和最优目标值如下：

    .........

    x1*=

    x2*=

    x4*=

    y1*=0.166667

    y2*=0.333333

    y4*=0.5

    .........

    Objective*=

    .........

+Leapms>

若要获得整解则必须使用mip命令对问题进行分支定界/割平面求解：

+Leapms>mip

relexed_solution=; number_of_nodes_branched=; memindex=(,)

The Problem is solved to optimal as an MIP.

找到整数规划的最优解.非零变量值和最优目标值如下：

  .........

    x1* =

    x2* =

    x5* =

    y1* =

    y2* =

    y5* =

  .........

    Objective*=

  .........

+Leapms>

结果在网络上表现：

“强”整数规划模型（Strong Integer Formulation)

“强”整数规划模型对上述模型采用了Multicommodity改写。方法是引入一个新非负变量 z[e][k]，其含义是流过e边最终贡献给k节点流出的流量（显然此处k=2,...,n, k$\neq 1$)。

新模型的目标不会改变，约束中的节点平衡条件逻辑上也不改变，即对任何节点 i , 流出和流入之差应该为0 或者当i==k时等于k的流出量。

用+Leapms写出模型，其PDF摘录如下：

上述所谓“强”模型比之前的模型的好处在于在+Leapms中直接使用solve命令就可以求出整数解，即不需要分支定界/割平面过程！

不十分严格地：此即是“强”整数规划模型和含义，强模型更容易求解，或者说对求解器更友好。

＋Leapms的求解过程：

+Leapms>solve

The LP is solved to optimal.

找到线性规划最优解.非零变量值和最优目标值如下：

    .........

    x1*=

    x2*=

    x5*=

    y1*=

    y2*=

    y5*=

    z1_4*=

    z2_2*=

    z2_3*=

    z5_3*=

    .........

    Objective*=

    .........

+Leapms>

结果在网络上表现：

强整数规划模型的详细解释及 “强”建模原理

本案例的“强”建模原理来源于文[1]中的三个观察（Oberservation 13.2-13.4, page 230) 。

关于“强”模型的详细解释，见文[2]。

其他

文[1]并未在13.4.1中给出此案例的所有数据，其余数据（主要是边上费用数据C是从13.1, page 222）的XPRESS MP模型中读出的。贴在这里，供看官与+Leapms建模语言作对比：

结论

“强”整数规划建模概念是经典建模方法中的重要内容，如果说在本科《运筹学》教学中只要讲述0-1变量的应用即可，那么在研究生层次的《高级运筹学》教学中最好增加“强”整数规划建模内容。

使用本土完全自主知识产权的+Leapms建模语言和+Leapms求解器，可以有效辅助教学，比之传统的舶来建模语言和求解器有优势。

参考文献

[1] Wolsey L A. Integer Programming. New York: Jonh Wiley & Sons, 1998 / ISBN 978-0-471-28366-9

[2] Wolsey L . Strong formulations for mixed integer programming: A survey[J]. Mathematical Programming, 1989, 45(1-3):173-191.