[SDOI2013]森林 主席树+启发式合并

这题的想法真的很妙啊。

看到题的第一眼，我先想到树链剖分，并把\(DFS\)序当成一段区间上主席树。但是会发现在询问的时候，可能会非常复杂，因为你需要把路径拆成很多条轻链和重链，它们还不一定连续，很难做（这个做法貌似可以用于子树第\(k\)大问题）。

于是我们换一个思路，让某个点的从它的父亲继承信息，也就是让这个结点对应的主席树维护一条从它到根的链。

那查询该如何是好？假设要查询的结点为\(x,y\)，我们利用树上差分的思想让\(x,y,lca(x,y),fa[lca(x,y)]\)对应的四棵主席树一起向下跳就行了。

有连边操作时，就要用到启发式合并了，也就是把小的那棵树合并到大的中，暴力重构一下小树的倍增数组和主席树就行了。

代码：

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define N 100000
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define mid ((l+r)>>1)
#define pii pair<int, int>
#define D 17

int n0, n, m, q, T, root[N+5], sz[N+5], d[N+5], me[N+5];
int w0[N+5], w[N+5], as[N+5], f[N+5][20];
int nid, sumv[100*N+5], lson[100*N+5], rson[100*N+5];
int lastans;
vector<int> G[N+5];

void build(int &o, int l, int r)
{
    o = ++nid;
    if(l == r) return ;
    build(lson[o], l, mid), build(rson[o], mid+1, r);
}

int LCA(int x, int y)
{
    if(d[x] < d[y]) swap(x, y);
    for(int i = D; i >= 0; --i)
        if(d[f[x][i]] >= d[y]) x = f[x][i];
    if(x == y) return x;
    for(int i = D; i >= 0 && f[x][0] != f[y][0]; --i)
        if(f[x][i] != f[y][i]) x = f[x][i], y = f[y][i];
    return f[x][0];
}

void insert(int o, int &u, int l, int r, int x, int k)
{
    u = ++nid;
    lson[u] = lson[o], rson[u] = rson[o], sumv[u] = sumv[o]+k;
    if(l == r) return ;
    if(x <= mid) insert(lson[o], lson[u], l, mid, x, k);
    else insert(rson[o], rson[u], mid+1, r, x, k);
}

int query(int x, int y, int k) //x-->y 第k大
{
    int lca = LCA(x, y), fa = f[lca][0], l = 1, r = n0;
    x = root[x], y = root[y], lca = root[lca], fa = root[fa];
    while(l != r)
    {
        int t = sumv[lson[x]]+sumv[lson[y]]-sumv[lson[fa]]-sumv[lson[lca]];
        if(t >= k) r = mid, x = lson[x], y = lson[y], fa = lson[fa], lca = lson[lca];
        else k -= t, l = mid+1, x = rson[x], y = rson[y], fa = rson[fa], lca = rson[lca];
    }
    return as[l];
}

void dfs(int u, int fa, int anc)
{
    d[u] = d[fa]+1, sz[u] = 1, f[u][0] = fa, me[u] = anc;
    for(int i = 1; i <= D; ++i) f[u][i] = f[f[u][i-1]][i-1];
    insert(root[fa], root[u], 1, n0, w[u], 1);
    for(int i = 0, v; i < G[u].size(); ++i)
    {
        v = G[u][i];
        if(v == fa) continue;
        dfs(v, u, anc);
        sz[u] += sz[v];
    }
}

void link(int x, int y)
{
    G[x].pb(y), G[y].pb(x);
    if(sz[me[x]] < sz[me[y]]) dfs(x, y, me[y]);
    else dfs(y, x, me[x]);
}

int main()
{
    #ifndef ONLINE_JUDGE
        freopen("testdata.in", "r", stdin);
        freopen("testdata.out", "w", stdout);
    #endif
    scanf("%d", &T);
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &q);
    for(int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%d", &w0[i]), w[i] = w0[i]; //离散化
    sort(w0+1, w0+n+1);
    n0 = unique(w0+1, w0+n+1)-w0-1;
    for(int i = 1, t; i <= n; ++i)
    {
        t = lower_bound(w0+1, w0+n0+1, w[i])-w0;
        as[t] = w[i], w[i] = t;
    }
    for(int i = 1, x, y; i <= m; ++i)
    {
        scanf("%d%d", &x, &y);
        G[x].pb(y), G[y].pb(x);
    }
    build(root[0], 1, n0);
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
        if(!d[i]) dfs(i, 0, i);
    char c;
    for(int i = 1, x, y, z; i <= q; ++i)
    {
        cin >> c;
        scanf("%d%d", &x, &y);
        x ^= lastans, y ^= lastans;
        if(c == 'Q') scanf("%d", &z), z ^= lastans, printf("%d\n", lastans = query(x, y, z));
        else link(x, y);
    }
    return 0;
}