BZOJ 3771: Triple [快速傅里叶变换 生成函数 容斥原理]

题意：n个物品，可以用1/2/3个不同的物品组成不同的价值，求每种价值有多少种方案(顺序不同算一种)

---

【生成函数】：

构造这么一个多项式函数g(x)，使得n次项系数为a[n]。

普通型生成函数用于解决多重集的组合问题

生成函数的x无实际意义 通常可以化为一个简单的式子

组合数的生成函数 A(x)=(1+x)^n  C(n,k)=a[k] 可以这么想，一次要么选择1要么选择x，选择x系数就会+1

生成函数系数为方案数，次数为价值

A(x) 选一个

B(x) A每项平方 选两个

C(x) A每项三次方 选三个

然后容斥原理算答案 听好想的看代码吧

注意计算的时候可以一直用点值，最后在再IDFT变系数表示

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <string>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;
const int N=+;
inline int read(){
    char c=getchar();int x=,f=;
    while(c<''||c>''){if(c=='-')f=-;c=getchar();}
    while(c>=''&&c<=''){x=x*+c-'';c=getchar();}
    return x*f;
}
const double PI=acos(-);
struct Vector{
    double x,y;
    Vector(double a=,double b=):x(a),y(b){}
};
typedef Vector CD;
Vector operator +(Vector a,Vector b){return Vector(a.x+b.x,a.y+b.y);}
Vector operator -(Vector a,Vector b){return Vector(a.x-b.x,a.y-b.y);}
Vector operator *(Vector a,Vector b){return Vector(a.x*b.x-a.y*b.y,a.x*b.y+a.y*b.x);}
Vector operator *(Vector a,double b){return Vector(a.x*b,a.y*b);}
Vector operator /(Vector a,double b){return Vector(a.x/b,a.y/b);}
Vector conj(Vector a){return Vector(a.x,-a.y);}
 
struct FastFourierTransform{
    int n,rev[N];
    CD omega[N],omegaInv[N];
    void ini(int m){
        n=;
        while(n<m) n<<=;
        for(int k=;k<n;k++)
            omega[k]=CD(cos(*PI/n*k),sin(*PI/n*k)),
            omegaInv[k]=conj(omega[k]);
        int k=;
        while((<<k)<n) k++;
        for(int i=;i<n;i++){
            int t=;
            for(int j=;j<k;j++) if(i&(<<j)) t|=(<<(k-j-));
            rev[i]=t;
        }
    }
    void transform(CD *a,CD *omega){
        for(int i=;i<n;i++) if(i<rev[i]) swap(a[i],a[rev[i]]);
        for(int l=;l<=n;l<<=){
            int m=l>>;
            for(CD *p=a;p!=a+n;p+=l)
                for(int k=;k<m;k++){
                    CD t=omega[n/l*k]*p[k+m];
                    p[k+m]=p[k]-t;
                    p[k]=p[k]+t;
                }
        }
    }
    void DFT(CD *a,int flag){
        if(flag==) transform(a,omega);
        else{
            transform(a,omegaInv);
            for(int i=;i<n;i++) a[i].x/=(double)n;
        }
    }
}fft;
int n,m,w;
CD A[N],B[N],C[N],ans[N];
int main(){
    freopen("in","r",stdin);
    n=read();
    for(int i=;i<=n;i++){
        w=read(); m=max(m,w);
        A[w].x=;
        B[w*].x=;
        C[w*].x=;
    }
    m=m*;
    fft.ini(m);
    fft.DFT(A,);fft.DFT(B,);fft.DFT(C,);
 
    for(int i=;i<fft.n;i++)
        ans[i]=ans[i]+A[i]+(A[i]*A[i]-B[i])/2.0+(A[i]*A[i]*A[i]-3.0*A[i]*B[i]+2.0*C[i])/6.0;
    fft.DFT(ans,-);
    for(int i=;i<m;i++) if(int(ans[i].x+0.5)) printf("%d %d\n",i,int(ans[i].x+0.5));
}