BZOJ 1041: [HAOI2008]圆上的整点【数论，解方程】

1041: [HAOI2008]圆上的整点

Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 162 MB
Submit: 4210  Solved: 1908
[Submit][Status][Discuss]

Description

求一个给定的圆(x^2+y^2=r^2)，在圆周上有多少个点的坐标是整数。

Input

只有一个正整数n,n<=2000 000 000

Output

整点个数

Sample Input

4

Sample Output

4

HINT

科普视频

Source

题目链接：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1041

【分析】：

样例图示：

首先,最暴力的算法显而易见：枚举x轴上的每个点，带入圆的方程，检查是否算出的值是否为整点，这样的枚举量为2*N，显然过不了全点。

然后想数学方法。

有了上面的推理，那么实现的方法为：

枚举d∈[1,sqrt(2R)]，然后根据上述推理可知：必先判d是否为2R的一约数。

此时d为2R的约数有两种情况：d=d或d=2R/d。

第一种情况：d=2R/d。枚举a∈[1,sqrt(2R/2d)] <由2*a*a < 2*R/d转变来>，算出对应的b=sqrt(2R/d-a^2)，检查是否此时的A,B满足：A≠B且A,B互质 <根据上面的推理可知必需满足此条件>，若是就将答案加1

第二种情况：d=d。枚举a∈[1,sqrt(d/2)] <由2*a*a < d转变来>，算出对应的b=sqrt(d-a^2)，检查是否此时的A,B满足：A≠B且A,B互质 <根据上面的推理可知必需满足此条件>，若是就将答案加1

因为这样只算出了第一象限的情况<上面枚举时均是从1开始枚举>，根据圆的对称性，其他象限的整点数与第一象限中的整点数相同，最后，在象限轴上的4个整点未算，加上即可，那么最后答案为ans=4*第一象限整点数+4

【时间复杂度分析】：

枚举d：O(sqrt(2R)),然后两次枚举a：O(sqrt(d/2))+O(sqrt(R/d))，求最大公约数：O(logN)

下面给出AC代码：

 #include <bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 typedef long long ll;
 inline ll read()
 {
     ll x=,f=;
     char ch=getchar();
     while(ch<''||ch>'')
     {
         if(ch=='-')
             f=-;
         ch=getchar();
     }
     while(ch>=''&&ch<='')
     {
         x=x*+ch-'';
         ch=getchar();
     }
     return x*f;
 }
 inline void write(ll x)
 {
     if(x<)
     {
         putchar('-');
         x=-x;
     }
     if(x>)
     {
         write(x/);
     }
     putchar(x%+'');
 }
 ll gcd(ll a,ll b)
 {
     return b==?a:gcd(b,a%b);
 }
 inline bool check(ll y,double x)
 {
     if(x==floor(x))//判断整点
     {
         ll x1=(ll)floor(x);
         if(gcd(x1*x1,y*y)==&&x1*x1!=y*y)//gcd(A,B)==1&&A!=B
             return true;
     }
     return false;
 }
 int main()
 {
     ll R;
     R=read();
     ll ans=;
     for(ll d=;d<=(ll)sqrt(*R);d++)//1<=d^2<=2R
     {
         if((*R)%d==)
         {
             for(ll a=;a<=(ll)sqrt(*R/(*d));a++)//2*a^2<2*R/d
             {
                 double b=sqrt(((*R)/d)-a*a);
                 if(check(a,b))
                     ans++;
             }
             if(d!=(*R)/d)
             {
                 for(ll a=;a<=(ll)sqrt(d/);a++)//2*a^2<=d
                 {
                     double b=sqrt(d-a*a);
                     if(check(a,b))
                         ans++;
                 }
             }
         }
     }
     printf("%lld\n",ans*+);
     return ;
 }