【Unity编程】四元数(Quaternion)与欧拉角

欧拉旋转、四元数、矩阵旋转之间的差异

除了欧拉旋转以外，还有两种表示旋转的方式：矩阵旋转和四元数旋转。接下来我们比较它们的优缺点。

欧拉角

优点：三个角度组成，直观，容易理解。
优点：可以进行从一个方向到另一个方向旋转大于180度的角度。
弱点：死锁问题。前面《【Unity编程】欧拉角与万向节死锁（图文版）》已经介绍过万向节死锁问题。

四元数

内部由四个数字（在Unity中称为x，y，z和w）组成，然而这些数字不表示角度或轴，并且通常不需要直接访问它们。除非你特别有兴趣深入了解四元数学，你只需要知道四元数表示三维空间中的旋转，你通常不需要知道或修改x，y和z属性。

优点：四元旋转不存在万向节锁问题。
优点：存储空间小，计算效率高。
弱点：单个四元数不能表示在任何方向上超过180度的旋转。
弱点：四元数的数字表示不直观。

矩阵旋转

优点：与四元数一样，不存在万向节锁问题
优点：可以表示围绕任意轴的旋转，四元数的旋转轴均为通过物体中心点的轴，矩阵则不受限
缺点：矩阵旋转使用4x4矩阵，记录16个数值，而四元数只需要4个数值。计算复杂，效率低。

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由于Unity中的旋转使用四元数，因此本文重点就放在四元数数学上。矩阵还是某些场合需要用到，比如坐标变换。不过你几乎不需要手动去执行矩阵计算，除非你在做Shader编程，或者是某些需要极端提高效率的场合。后续我计划写一篇文章专门介绍矩阵变换。

四元数的数学

由于前面两篇文章均尽可能采用无数字计算的方式，为的是方便理解。而这里由于需要理解四元数的计算，我们还是需要理解一些复数和欧拉旋转计算方面的基本数学。

复数

首先了解一下复数，上图中，左右方向的轴（X轴）称为实数轴，上下的轴(Y轴)称为虚数轴。

任意一个二维矢量，都可以使用一个复数形式进行表示。也就是：e = a + bi

其中a是实数，i是虚数，i * i=-1。

至于什么是虚数，我的理解它就是个不同维度的后缀标记和符号而已。i标记了实数轴和虚数轴之间的差异，也就是旋转90度旋转的差别，乘以i意味着这种旋转关系。

为什么i * i=-1?也就是两个虚数i乘积又变成了实数-1？因为从实数轴(1表示)围绕上图中逆时针90度(1i)到达虚数轴(=i)，再逆时针旋转90(1 i * i)就到达了负实数轴方向(=-1)。所以这里规定i * i=-1。

复数运算

加法： (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i
减法： (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i
乘法： (a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi^{2}=(ac-bd)+(bc+ad)i

更多复数相关知识，请参考“维基百科-复数_(数学)”

欧拉旋转定理

为了方便讨论旋转，我们避开矢量长度的影响，也就是假设问题是基于长度为1的矢量去讨论。由上图可以看出，当长度为1时，矢量落在长度为1的圆形上，此时实数轴上的a = cos（φ），虚数轴上的b = sin（φ），其中φ为旋转角度。

此时的表示形式为 e = cos（φ） + sin（φ）i

那么，使用这样一种形式到底有什么意义呢？数学从来都是工具，如果没有用处，它也就不会存在了。我们接下来看它的作用。

当圆上的一个矢量进行了连续的旋转时时，假设先旋转φ，再旋转θ，则结果应该是两个旋转的角的和的复数形式，即 e = cos（φ+θ）+sin（φ+θ）i

假设：

e1= cos（φ） + sin（φ）i (表示旋转了φ角度)

e2= cos（θ） + sin（θ）i (表示旋转了θ角度)

那么e和e1、e2之间的关系是怎样的？

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根据和差公式可以得知

cos（φ+θ）+sin（φ+θ）i

= （cos（φ）cos（θ）-sin（φ）sin（θ））+(sin（θ）cos（φ）+cos（θ）sin（φ）)i

= cos（φ）cos（θ）+cos（φ）sin（θ）i+cos（θ）sin（φ）i- sin（φ）sin（θ）

= (cos（φ） + sin（φ）i)(cos（θ） + sin（θ）i)

= e1 e2

e = e1*e2

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也就是说，连续的旋转（例如这里旋转φ再旋转θ），可以使用两个复数的乘积进行表示。在计算机运算中：

如果知道φ=30度，那么计算此单位矢量再旋转θ=40度是很容易的，只需要直接运算cos（φ+θ）和sin（φ+θ）即可。
如果知道一个矢量(a+bi)，不知其φ值，要对其进行旋转θ=40度，那么也就有了快速的计算方法，即：

(a+bi) * (cos(40)+sin(40)i) = (a * cos(40)-b * sin(40)) + (b * cos(40) + a * sin(40))i

结果：二维向量 x = a * cos(40)-b * sin(40)，y= b * cos(40) + a * sin(40)

可以快速计算出二维矢量结果，而不必先求φ。

因此这就是复数和欧拉旋转定理的作用，它可以使用复数很方便地表示出二维矢量的旋转变化。

四元数

相对于复数为二维空间，为了解决三维空间的旋转变化问题，爱尔兰数学家威廉·卢云·哈密顿把复数进行了推广，也就是四元数。

以下均为定义，所谓定义，就是我们人为设置的概念和计算方法，它们本身或许没有什么意义，但是如果按照这些概念和方法计算出某些有意义的结果，那么这些定义也就有了相应的意义。

四元数定义

四元数定义i、j、k三个虚数单位参与运算，并有以下运算规则：

i、j、k仍然理解为旋转，其中：

i旋转代表X轴与Y轴相交平面中X轴正向向Y轴正向的旋转
j旋转代表Z轴与X轴相交平面中Z轴正向向X轴正向的旋转
k旋转代表Y轴与Z轴相交平面中Y轴正向向Z轴正向的旋转
-i、-j、-k分别代表i、j、k旋转的反向旋转

一个普通四元数可以写成如下形式：

四元数的i、j、k之间乘法的性质与向量之间的叉积结果形式很类似，于是四元数有了另外一种表示形式：

加法定义

四元数加法，跟复数、矢量和矩阵一样，两个四元数之和需要将不同的元素加起来，加法遵循实数和复数的所有交换律和结合律：

格拉斯曼积定义

四元数的乘法有很多种，最常见的一种定义，与数学多项式乘法相同，称为格拉斯曼积。(注意，下面乘积的式子是由多项式形如a+bi+cj+dk的多项式进行多对多乘法(比如4项x4项=16项)计算后，使用矢量的点积和叉积替代部分计算项后形成)：

把向量部分和实数部分分开，可以写成：

点积定义

叉积定义

四元数叉积：p × q

四元数叉积也称为奇积。它和矢量叉积等价，并且只返回一个矢量值：

共轭定义

四元数的共轭的定义。即实部相同，虚部相反。（与复数概念类似）

定义的推论

模的定义

四元数的模的定义。与矢量的模类似，都表示长度或者绝对值的意思。四元数的绝对值是四元数到原点的距离。

逆的定义

单位四元数的定义

所谓的单位量，都是指，任意原始量乘以单位量之后保持原始量不变。如对于实数而言，任意原始实数乘以实数1等于原始实数，因此1被定义为单位。

四元数的归一化

归一化也叫单位化，与矢量的概念一样，就是为了把长度调整到单位长度。现在单位四元数已经得知，其单位长度显然是1。我们也知道了模的计算方法，因此把四元数的归一化方法如下：

四元数映射_实数

我们可以将实数映射到四元数空间，所谓的映射，也就是说1对1的找到相应的存在，并且在不同空间施加施加相对应运算的法则时获得相同的结果。

例如，对应实数w，尝试进行如下映射：

四元数映射_矢量直接映射

与实数映射类似，我们也可以尝试将三维矢量映射到四元数。

四元数映射_矢量间接映射

同态

先考虑一个同态概念：假设M，M′是两个乘集，也就是说M和M′是两个各具有一个封闭的具有结合律的运算与的代数系统。φ是M射到M′的映射，并且任意两个元的乘积的像是这两个元的像的乘积，即对于M中任意两个元a,b,满足

φ(ab)=φ(a)φ(b)；

也就是说，当a→φ(a)，b→φ(b)时，ab→φ(a)φ(b)，

那么这映射φ就叫做M到M′上的同态。我前面所解释的可以互相映射大致意思也就是同态。

四元数中的同态函数

为什么我们研究同态？因为这里涉及到我们希望出现的向量的旋转，一个三维空间的向量被旋转之后，它应该还是一个三维矢量。这个旋转函数应该满足以下要求：

接着，我们详细了解间接映射的步骤。如下图所示：

[此处还可以解释得更明确，不过太过复杂了]

旋转四元数

最后，给出旋转四元数，也就是一直在追求的φ()函数。

总结

四元数是高阶复数的数学，它用在游戏中的作用主要是计算三维矢量的旋转，它使用先将矢量映射到纯虚四元数，再应用旋转四元数的方式进行映射。最后可以达成旋转目的。

前面的四元数性质不甚了解也没有太大关系，大概了解到是如何映射的也就可以了。甚至在Unity编程过程中你对四元数的映射关系不了解都无所谓。后续文章中我再介绍具体的用法。