【NOIP模拟赛】一道挖掉背景的数学题

Title:【Empty】#

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Description##

给定n与p,求\(\left\lfloor x^n\right\rfloor \% p\),x=\(\frac{\sqrt{5}+1}{2}\)。

Input Format##

输入一行，两个非负整数n,p。

Output Format##

输出一个整数，表示答案

Sample Input##

5 97

Sample Output##

11

Solution##

今天写道数学题吧OwO

这道题我们看到\(\frac{{\sqrt 5 {\rm{ + }}1}}{2}\)，那么我们容易想到另一个无理数\(\frac{1-\sqrt 5}{2}\)对吧？

因为这两个无理数是方程\(t^2-t-1=0\)的两根

那么数学好的大佬肯定一眼看出这个特征方程对应的递推通式是\(f[i]=f[i-1]+f[i-2]\)

我们首先设\(x1=\frac{{\sqrt 5 {\rm{ + }}1}}{2}\)，\(x2=\frac{1-\sqrt 5}{2}\)

那么其实这个递推式的通式其实就是\(f[n]=c1*x1^n+c2*x2^n\)

具体这个递推式是什么呢？我们并不在乎对吧（引用：我又不是数学老师）

为了得到\(x1^n\)，我们不妨假设这个递推式的通项式为\(f[n]=(\frac{{\sqrt 5 {\rm{ + }}1}}{2})^n+(\frac{1-\sqrt 5}{2})^n\)

首先我们将0,1带入递推通式得到\(f_0=2,f_1=1\)，那么我们所得到的递推式每一项都必然是一个整数

由于\(-1<\frac{1-\sqrt 5}{2}<0\)，显然\(\begin{cases}
-1<(\frac{1-\sqrt 5}{2})^n<0& \text{n%2==1} \\
0<(\frac{1-\sqrt 5}{2})^n<1& \text{n%2==0}
\end{cases}\)

那么我们只要对于n的奇偶性讨论一下，如果是奇就直接输出\(f[n]\)，否则输出\(f[n]-1\)

剩下就是一个矩阵乘法求递推第n项，因此很容易求解

#include<cstdio>
long long n;
int zqm,f0,f1;
struct r{
	int a,b,c,d;
}a,c;
r operator *(r a,r b){
	r c;
	c.a=(a.a*1ll*b.a+a.b*1ll*b.c)%zqm;
	c.b=(a.a*1ll*b.b+a.b*1ll*b.d)%zqm;
	c.c=(a.c*1ll*b.a+a.d*1ll*b.c)%zqm;
	c.d=(a.c*1ll*b.b+a.d*1ll*b.d)%zqm;
	return c;
}
int main()
{
	scanf("%lld%d",&n,&zqm);
	f0=2,f1=1;
	if (n==0){
		printf("%d\n",1%zqm);
		return 0;
	}
	if (n==1){
		printf("%d\n",1%zqm);
		return 0;
	}
	n-=2;
	int ans=0;
	if (!(n&1)) ans--;
	a=(r){1,1,1,0};
	c=a;
	while (n){
		if ((n&1)) c=c*a;
		a=a*a,n>>=1;
	}
	ans=(c.a*1ll*f1+f0*1ll*c.b+ans)%zqm;
	printf("%d",ans);
	return 0;
}