CodeForces 24D Broken robot（期望+高斯消元）

CodeForces 24D Broken robot

大致题意：你有一个n行m列的矩形板，有一个机器人在开始在第i行第j列，它每一步会随机从可以选择的方案里任选一个（向下走一格，向左走一格，向右走一格，留在原地），现在我们要求它走到最后一行的期望步数

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$ solution: $

这道题我们可以从最后一行开始递推（这是一个期望DP的惯用套路，因为只有最后的期望我们可以得出是1或者0，前面的都是未知的），但是我们很快发现会有一些难以解决的方程。因为每一行的每一个格子都可以组成一个方程，但是这些格子都是未知的，只有他们的下一行的所有格子已知（我们从下向上倒推）。也就是说这一行格子会组成m个两两相关联的线性方程组。我们知道解方程组可以用高斯消元，但是高斯消元的复杂度为三方的。博主困在这里了好久，最后看书才发现原来自己这么笨。众所周知的，高斯消元的优化有很多种，我们要好好的利用其性质。而这一题的方程组每一个格子的期望都只和他左边和右边的格子的期望有关联，所以我们的系数矩阵很多都是0，这些我们都不用计算。我们只需要消掉左边一个和右边一个就可以了。这样高斯消元的实际复杂度就变成了 $ O(m) $ （具体看代码）然后我们就可以过这道题了。

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$ code: $

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<iomanip>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdlib>

#define ll long long
#define db double
#define rg register int

using namespace std;

int n,m,sx,sy;
db f[1005][1005];
db s[1005][1005];

inline int qr(){
    char ch;
    while((ch=getchar())<'0'||ch>'9');
    int res=ch^48;
    while((ch=getchar())>='0'&&ch<='9')
        res=res*10+(ch^48);
    return res;
}

int main(){
	n=qr(); m=qr();
	sx=qr(),sy=qr();
	if(m==1){
        printf("%.10lf\n",(db)2*(n-sx));
        return 0;
    }
	for(rg i=n-1;i>=sx;--i){
		s[1][1]=s[m][m]=(db)2/3;
		s[m][m+1]=f[i+1][m]/3+1;
		s[1][2]=s[m][m-1]=-(db)1/3;
		s[1][m+1]=f[i+1][1]/3+1;
		for(rg j=2;j<m;++j){
			s[j][j]=(db)3/4;
			s[j][m+1]=f[i+1][j]/4+1;
			s[j][j-1]=s[j][j+1]=-(db)1/4;
		}
		for(rg j=1;j<m;++j){
			db x=s[j+1][j]/s[j][j];
			s[j+1][j+1]-=s[j][j+1]*x;
			s[j+1][m+1]-=s[j][m+1]*x;
		}
		for(rg j=m;j>1;--j){
			db x=s[j-1][j]/s[j][j];
			s[j-1][m+1]-=s[j][m+1]*x;
		}
		for(rg j=1;j<=m;++j)
			f[i][j]=s[j][m+1]/s[j][j];
	}
	printf("%.10lf\n",f[sx][sy]);
	return 0;
}