codeforces_1065_D.three pieces_思维
题意:一个正方形棋盘,三种棋子,knight:像中国象棋中的马一样走;bishop:斜着走;rook:中国象棋中的车。棋盘中每个格子中标着1--n*n的互不相同的数字,从1开始任选一种棋子开始走,在每个格子,要么移动棋子,要么更换一种棋子,每个格子可以重复走,移动或更换都算作一步。问从1按增序走到n*n,至少需要多少步,相同步数情况下选择替换次数最少的方案。
思路:这道题的难点在于每一步可以更换棋子,算上棋子种类,一共3维[i][j][p],每走一步是从[i][j][p]走到[i'][j'][p'],在这种情况下问题有点复杂。但是可以发现任何一点到另一点最多可以3步走到,bishop和rook这两种非常容易算出步数,然后再通过dfs搜索一下knight需要的步数,每走一步验证三种情况,感觉应该可以,改天试试。实现时发现一个问题,可以先走一步再替换一次,再走一步,这样也是3步,这种情况不好处理。
另一种思路,官方题解的思路。为了化简问题,将[i][j][k]当做一种状态,用i*n*3+j*3+k映射为一个整数,由此可以构建状态的邻接矩阵,再使用最短路算法求出每个状态之间的最短路,最后按顺序dp一下。这个方法比较巧妙,将3维的状态映射到1维上,值得思考。
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
#define LL long long
#define N 12
int n; int getState(int x,int y,int p)
{
return x*n*+y*+p;
} struct Pair
{
int mov,rep;
Pair() {}
Pair(int m,int r)
{
mov=m;
rep=r;
}
bool operator < (const Pair t)const
{
if(mov+rep==t.mov+t.rep)
return rep<t.rep;
else
return mov+rep<t.mov+t.rep;
}
Pair operator + (const Pair t)const
{
Pair ret;
ret.mov=mov+t.mov;
ret.rep=rep+t.rep;
return ret;
}
int sum()
{
return mov+rep;
}
}; int dx[]= {-,-,-,,,,,-}; //knight
int dy[]= {-,,,,,-,-,-}; Pair gra[N*N*][N*N*];
void buildGra()
{
for(int i=; i<n*n*; i++)
for(int j=; j<n*n*; j++)
gra[i][j]=Pair(,);
for(int i=; i<n; i++)
{
for(int j=; j<n; j++)
{
for(int k=; k<; k++)
for(int l=; l<; l++)
{
int t1=getState(i,j,k);
int t2=getState(i,j,l);
//cout<<"*"<<t1<<" "<<t2<<endl;
if(t1==t2)
gra[t1][t1]=Pair(,);
else
gra[t1][t2]=gra[t2][t1]=Pair(,);
}
for(int k=; k<; k++) //knight
{
int xx=i+dx[k];
int yy=j+dy[k];
if(xx>=&&xx<n&&yy>=&&yy<n)
{
int t1=getState(i,j,);
int t2=getState(xx,yy,);
gra[t1][t2]=gra[t2][t1]=Pair(,);
}
}
for(int k=-; k<=; k++) //bishop
for(int l=-; l<=; l++)
{
if(k==||l==)
continue;
int xx=i+k;
int yy=j+l;
while(xx>=&&xx<n&&yy>=&&yy<n)
{
int t1=getState(i,j,);
int t2=getState(xx,yy,);
gra[t1][t2]=gra[t2][t1]=Pair(,);
xx+=k;
yy+=l;
}
}
for(int k=i+; k<n; k++) //rook
{
int t1=getState(i,j,);
int t2=getState(k,j,);
gra[t1][t2]=gra[t2][t1]=Pair(,);
}
for(int k=j+; k<n; k++)
{
int t1=getState(i,j,);
int t2=getState(i,k,);
gra[t1][t2]=gra[t2][t1]=Pair(,);
}
}
}
} int main()
{
int R[],C[];
scanf("%d",&n);
for(int i=; i<n; i++)
for(int j=; j<n; j++)
{
int num;
scanf("%d",&num);
R[num]=i;
C[num]=j;
}
buildGra();
for(int k=; k<n*n*; k++)
for(int i=; i<n*n*; i++)
for(int j=; j<n*n*; j++)
if(gra[i][k]+gra[k][j]<gra[i][j])
gra[i][j]=gra[i][k]+gra[k][j];
Pair dp[N*N][];
dp[][]=dp[][]=dp[][]=Pair(,);
for(int i=; i<=n*n; i++)
{
dp[i][]=dp[i][]=dp[i][]=Pair(,);
int xx=R[i],yy=C[i];
for(int j=; j<; j++)
{
for(int k=; k<; k++)
{
int snow=getState(xx,yy,j);
int slst=getState(R[i-],C[i-],k);
if(dp[i-][k]+gra[slst][snow]<dp[i][j])
dp[i][j]=dp[i-][k]+gra[slst][snow];
}
}
}
Pair res(,);
for(int i=; i<; i++)
if(dp[n*n][i]<res)
res=dp[n*n][i];
printf("%d %d\n",res.sum(),res.rep);
return ;
}
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