hdu 5950 Recursive sequence
题意:告诉你数列的递推公式为f(n+1)=f(n)+2*f(n-1)+(n+1)^4 以及前两项a,b;问第n项为多少,结果对2147493647取模。
题解:有递推公式,马上应该就能想到矩阵快速幂;但是,以前写过的矩阵快速幂绝大都是常数做系数的,如果这题是f(n+1)=f(n)+2*f(n-1)这样那倒蛮简单的构造个2*2矩阵很快能做出来;而后面接个(n+1)^4这种当时就gg了,,不知该如何下手。后来拜读了大佬的代码后才恍然大悟,,=_=...
对于(n+1)^4,展开来后就是n^4+4*n^3+6*n^2+4*n+1,以及(n+1)^3展开是n^3+3*n^2+3*n+1那么,根据这个公式就可以在矩阵相乘时由{f(n),f(n-1),n^4,n^3,n^2,n,1}递推出{f(n+1),f(n),(n+1)^4,(n+1)^3,(n+1)^2,(n+1),1}。 故可构造7*7矩阵:
用矩阵快速幂求其n-2次方的结果后,再与矩阵{ f(2), f(1), 2^4, 2^3, 2^2, 2, 1 } 即可得到第n项。
ac代码:
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <set>
#include <utility>
#include <vector>
#include <map>
#include <queue>
#include <stack>
const int inf=0x3f3f3f3f;
const double PI=acos(-1.0);
const double EPS=1e-;
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> P; const ll mod=2147493647LL;
ll n,a,b;
typedef struct Marix
{
ll m[][];
} Marix;
Marix p = {, , , , , , ,
, , , , , , ,
, , , , , , ,
, , , , , , ,
, , , , , , ,
, , , , , , ,
, , , , , ,
};
Marix mul(Marix a,Marix b)
{
Marix c;
memset(c.m,,sizeof(c.m));
for(int k=; k<; k++)
for(int i=; i<; i++)
for(int j=; j<; j++)
c.m[i][j]=(c.m[i][j]+a.m[i][k]*b.m[k][j]%mod)%mod;
return c;
}
Marix pow_mod(Marix a,ll n)
{
Marix c;
for(int i=; i<; i++) for(int j=; j<; j++) c.m[i][j]=(i==j); //将c初始化为单位矩阵
//
for(; n; n>>=)
{
if(n&) c=mul(c,a);
a=mul(a,a);
}
return c;
}
void debug()
{
}
int main()
{
//freopen("input.txt","r",stdin);
//debug();
int T;
scanf("%d",&T);
while(T--)
{
scanf("%I64d%I64d%I64d",&n,&a,&b);
//
if(n==)
{
cout<<a<<endl;
continue;
}
else if(n==)
{
cout<<b<<endl;
continue;
}
//
Marix c=pow_mod(p,n-);
ll ans=b*c.m[][]%mod+a*c.m[][]%mod;
ans+=*c.m[][]+*c.m[][]+*c.m[][]+*c.m[][]+c.m[][];
cout<<ans%mod<<endl;
}
return ;
}
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