【学习小记】KD-Tree
Preface
听说KD树实在是个大神器
可以解决多维空间多维偏序点权和,可以求某个点的空间最近最远点
就二维平面上的来说,复杂度在\(O(n\log n)\)到\(O(n\sqrt n)\)不等
嫌KD树不平衡了还可以来一个替罪羊树式的暴力重构
再也不用担心写不出树套树了!(狗头)
Text
这是个什么东西呢?
在一维数轴上,可以简单的比较两个值的大小,我们就很容易将它们分治,建出一个二叉搜索树
但是拓展到高维往往就很困难
KD树解决了这一麻烦,KD树也是一个二叉分治结构,不同的是KD树的分治维是会变的。
比如说对于1号节点,它是按照X坐标分治的,即它的左子树的X坐标比他小,Y坐标比他大
对于另一个2号节点,他可能又按照Y坐标分治了。
可以根据以下构树的过程来加深理解。
构造
以二维平面为例,我们现在有一堆点。
按什么坐标分治其实是可以随机的,而另一种比较好的方法是每一维轮流,父亲按X分治,当前就按Y分治这样子下去
实现上来说,我们当前的节点可以表示成节点序列上的一段区间[l,r]。
现在我们想要知道节点序列上区间[l,r]中第D维的中位数,然后把比它小的放到它左边,大的放到右边。
这个东西排序似乎要\(n\log\)?
然而c++STL库提供了一个std::nth_element()的函数,找出序列第k大,并且把小的放左边,大的放右边,内部的相对顺序不保证,并且它的复杂度是线性的。(原理好像是基于分治的)
它一般可以传四个参,依次是序列头,序列第k个位置,序列维,比较函数
调用完以后序列第k个位置就已经放好了。
这样就搞定了,递归建树即可,注意如果是左边或右边没有元素了就不递归那边。
显然,平衡树能记录的值它都能记录。子树和,子树最大值等等
为了方便,我们一般还记录子树中每一维坐标的范围。
可以看出,每个子树就是一个矩形内的所有点。
动态插入
类似splay一样向下搜索到叶子,直接加入即可。
然而多次以后可能会出现不平衡的情况。(即某一侧子树过大)
那么我们可以类似替罪羊树的做法,插入以后找最高的一个不平衡点,对它的子树进行重构。
当然,由于KD树的本质是一个暴力,你完全可以每插入7000次或者10000次之类的把整棵树重构一遍(好写简洁,慢不了多少)
动态删除
类似替罪羊树,删除一个节点时,找它左子树中这一维最大的那个节点替代它。
不平衡就重构。
基本操作/询问
矩形加/矩形赋值/矩形查询,类似线段树那样做就好了。
对于K维操作,n个点,总的复杂度大概是\(O(kn^{1-{1\over k}})\)(当然1维不是)
有一个它能做而树套树完成不了的问题——K维最近/最远点
这个距离可以是曼哈顿距离,欧几里得距离,甚至切比雪夫距离。
它的本质就是一个搜索。
由于我们知道了每个子树的每维坐标的范围,我们就可以算出询问节点到这个子树的矩形的距离至少(至多)是多少
以欧几里得最近点为例,
令矩形为\((x1,y1,x2,y2)\),询问点为\((p,q)\),那么这个点到这个矩形内的点距离至少是\(\sqrt{max(0,max(x1-p,p-x2))^2+max(0,max(y1-q,q-y2))^2}\)
简单来说,这就是一个估价函数。
如果估价函数值比当前已经搜出来的答案还大,那么直接退出。
随机数据下复杂度是\(O(n\log n)\)的,构造下大概是\(O(n\sqrt n)\)
k维复杂度大概是\(O(kn^{1-{1\over k}})\)
这可以用来优化某些DP
先说这么多,如果有别的应用以后再补。
Code
一个相当丑的模板
namespace KDT
{
int D,rt,t[N][2],sz[N],dw[N],tr[N],le;
int a[N][3],rg[N][3][2],ans;
bool cmp(int x,int y)
{
return a[x][D]<a[y][D];
}
void upd(const int &k,const int &y)
{
if(y)
{
fo(j,0,2)
{
rg[k][j][0]=min(rg[k][j][0],rg[y][j][0]);
rg[k][j][1]=max(rg[k][j][1],rg[y][j][1]);
}
sz[k]=sz[k]+sz[y];
}
}
void up(int k)
{
sz[k]=1;fo(j,0,2) rg[k][j][0]=rg[k][j][1]=a[k][j];
if(t[k][0]) upd(k,t[k][0]);
if(t[k][1]) upd(k,t[k][1]);
}
int make(int l,int r)
{
int mid=(l+r)>>1;
D=(D+1)%3;
std::nth_element(tr+l,tr+mid,tr+r+1,cmp);
int k=tr[mid];dw[k]=D;
t[k][0]=(l<mid)?make(l,mid-1):0;
t[k][1]=(r>mid)?make(mid+1,r):0;
up(k);
return k;
}
void ins(int &k,int p)
{
if(!k)
{
k=p;sz[p]=1;dw[p]=(D+1)%3;
fo(j,0,2) rg[p][j][0]=rg[p][j][1]=a[p][j];
return;
}
D=dw[k];
if(a[p][D]<=a[k][D]) ins(t[k][0],p);
else ins(t[k][1],p);
up(k);
}
int pri(int k,int x,int y,int z)
{
return rg[k][0][0]+sqr(max(0,max(rg[k][1][0]-y,y-rg[k][1][1])))+sqr(max(0,max(rg[k][2][0]-z,z-rg[k][2][1])));
}
int calc(int k,int x,int y,int z)
{
return a[k][0]+sqr(a[k][1]-y)+sqr(a[k][2]-z);
}
void query(int k,int x,int y,int z)
{
if(pri(k,x,y,z)>=ans) return;
ans=min(ans,calc(k,x,y,z));
if(t[k][0]) query(t[k][0],x,y,z);
if(t[k][1]) query(t[k][1],x,y,z);
}
}
【学习小记】KD-Tree的更多相关文章
- [学习笔记]K-D Tree
以前其实学过的但是不会拍扁重构--所以这几天学了一下 \(K-D\ Tree\) 的正确打开姿势. \(K\) 维 \(K-D\ Tree\) 的单次操作最坏时间复杂度为 \(O(k\times n^ ...
- P4169-CDQ分治/K-D tree(三维偏序)-天使玩偶
P4169-CDQ分治/K-D tree(三维偏序)-天使玩偶 这是一篇两种做法都有的题解 题外话 我写吐了-- 本着不看题解的原则,没写(不会)K-D tree,就写了个cdq分治的做法.下面是我的 ...
- k-d tree 学习笔记
以下是一些奇怪的链接有兴趣的可以看看: https://blog.sengxian.com/algorithms/k-dimensional-tree http://zgjkt.blog.uoj.ac ...
- K-D Tree学习笔记
用途 做各种二维三维四维偏序等等. 代替空间巨大的树套树. 数据较弱的时候水分. 思想 我们发现平衡树这种东西功能强大,然而只能做一维上的询问修改,显得美中不足. 于是我们尝试用平衡树的这种二叉树结构 ...
- 【学习笔记】K-D tree 区域查询时间复杂度简易证明
查询算法的流程 如果查询与当前结点的区域无交集,直接跳出. 如果查询将当前结点的区域包含,直接跳出并上传答案. 有交集但不包含,继续递归求解. K-D Tree 如何划分区域 可以借助下文图片理解. ...
- k-d tree算法
k-d树(k-dimensional树的简称),是一种分割k维数据空间的数据结构.主要应用于多维空间关键数据的搜索(如:范围搜索和最近邻搜索). 应用背景 SIFT算法中做特征点匹配的时候就会利用到k ...
- [转载]kd tree
[本文转自]http://www.cnblogs.com/eyeszjwang/articles/2429382.html k-d树(k-dimensional树的简称),是一种分割k维数据空间的数据 ...
- 【数据结构与算法】k-d tree算法
k-d tree算法 k-d树(k-dimensional树的简称),是一种分割k维数据空间的数据结构.主要应用于多维空间关键数据的搜索(如:范围搜索和最近邻搜索). 应用背景 SIFT算法中做特征点 ...
- AOJ DSL_2_C Range Search (kD Tree)
Range Search (kD Tree) The range search problem consists of a set of attributed records S to determi ...
- mongodb入门学习小记
Mongodb 简单入门(个人学习小记) 1.安装并注册成服务:(示例) E:\DevTools\mongodb3.2.6\bin>mongod.exe --bind_ip 127.0.0.1 ...
随机推荐
- C++11新标准学习
<深入理解C++11:C++11新特性解析与应用> <华章科技:深入理解C++11:C++11新特性解析与应用>一共8章:第1章从设计思维和应用范畴两个维度对C++11新标准中 ...
- Java学习总结——常见问题及解决方法
CYTX项目开发中遇到的问题及解决方法 Android开发各类常见错误解决方案: 使用Android Studio遇到的问题及解决过程 登录注册部分问题及解决: 1.问题:"No targe ...
- word复制粘贴表格不齐
1.查找橡皮擦 2.有时候复制粘贴 表格 会将以前的东西格式也粘贴进来,需要清除格式和重新排版 3.word2007清除格式
- Window vista 以上制作自定义证书并为端口配置ssl
此处的关键在于证书需要分两步,不然在配置ssl时总会有错误.也许makecert命令也会有些玄机,但是管他呢,请按以下步骤和命令配置,几分钟就可成功: 证书制作: 1, 在开始/所有程序(或其他地方 ...
- Android-自定义仿QQ列表Item滑动
效果图: 布局中去指定自定义FrameLayout: <!-- 自定义仿QQ列表Item滑动 --> <view.custom.shangguigucustomview.MyCust ...
- C#泛型使用小记
最近C#的泛型使用频次略多,特在此记下一个印象深刻的. 情景如下, 基类BaseClass 有一系列的子类 SubClass1, SubClass2, SubClass3... 且其构造函数的参数较多 ...
- [Erlang29]进程收到不是期望的消息时怎么办?
最近在项目中升级了第三方库,导致本应用gen_server中A进程中: handle_info({add,X},Sum) -> {noreply,Sum+X}; 结果这么简单的一个工作居然不工作 ...
- eFrameWork学习笔记-eOleDB
eOleDB是eFrameWork框架下基础的数据访问类,用于执行SQL语句,返回DataTable,分页,返回数据库所有库,库的所有表,表的所有列,Json导入.导出等. HTML: <div ...
- “全栈2019”Java第九十二章:外部类与内部类成员覆盖详解
难度 初级 学习时间 10分钟 适合人群 零基础 开发语言 Java 开发环境 JDK v11 IntelliJ IDEA v2018.3 文章原文链接 "全栈2019"Java第 ...
- “全栈2019”Java第八十七章:类中嵌套接口的应用场景(拔高题)
难度 初级 学习时间 10分钟 适合人群 零基础 开发语言 Java 开发环境 JDK v11 IntelliJ IDEA v2018.3 文章原文链接 "全栈2019"Java第 ...