einsum：爱因斯坦求和约定

在Tensorflow、Numpy和PyTorch中都提供了使用einsum的api，einsum是一种能够简洁表示点积、外积、转置、矩阵-向量乘法、矩阵-矩阵乘法等运算的领域特定语言。在Tensorflow等计算框架中使用einsum，操作矩阵运算时可以免于记忆和使用特定的函数，并且使得代码简洁，高效。

如对矩阵\(A\in \mathbb{R}^{I×K}​\)和矩阵\(B\in \mathbb{R}^{K×J}​\)做矩阵乘，然后对列求和，最终得到向量\(c\in \mathbb{R}^J​\)，即：

\[\mathbb{R}^{I×K}\bigotimes \mathbb{R}^{K×J}\to \mathbb{R}^{I×J}\to \mathbb{R}^{J}
\]

使用爱因斯坦求和约定表示为：

\[c_j=\sum_i\sum_kA_{ik}B_{kj}=A_{ik}B_{kj}
\]

在Tensorflow、Numpy和PyTorch中对应的einsum字符串为：

ik,kj->j

在上面的字符串中，隐式地省略了重复的下标\(k\)，表示在该维度矩阵乘；另外输出中未指明下标\(i\)，表示在该维度累加。

Numpy、PyTorch和Tensorflow中的einsum

einsum在Numpy中的实现为np.einsum，在PyTorch中的实现为torch.einsum，在Tensorflow中的实现为tf.einsum，均使用同样的函数签名einsum(equation,operands)，其中，equation传入爱因斯坦求和约定的字符串，而operands则是张量序列。在Numpy、Tensorflow中是变长参数列表，而在PyTorch中是列表。上述例子中，在Tensorflow中可写作：

tf.einsum('ik,kj->j',mat1,mat2)

其中，mat1、mat2为执行该运算的两个张量。注意：这里的(i,j,k)的命名是任意的，但在一个表达式中要一致。

PyTorch和Tensorflow像Numpy支持einsum的好处之一就是，einsum可以用于深度网络架构的任意计算图，并且可以反向传播。在Numpy和Tensorflow中的调用格式如下：

\[result=\mathop{einsum}('\square \square, \square \square \square,\square \square\to \square \square',arg1,arg2,arg3)
\]

其中，\(\square\)是占位符，表示张量维度；arg1,arg3是矩阵，arg2是三阶张量，运算结果是矩阵。注意：einsum处理可变数量的输入。上面例子中，einsum制定了三个参数的操作，但同样可以操作一个参数、两个参数和三个参数及以上的操作。

典型的einsum表达式

前置知识

• 内积

  又称点积、点乘，对应位置数字相乘，结果是一个标量，有见向量内积和矩阵内积等。

  向量\(\vec a\)和向量\(\vec b\)的内积：

  \[\vec a=[a_1,a_2,...,a_n]\\
  \vec b=[b_1,b_2,...,b_n]\\
  \vec a\cdot \vec b^T=a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n
  \]

  内积几何意义：

  \[\vec a \cdot \vec b^T=|\vec a||\vec b|\mathop{cos}\theta
  \]

• 外积

  又称叉乘、叉积、向量积，行向量矩阵乘列向量，结果是二阶张量。注意到：张量的外积作为张量积的同义词。外积是一种特殊的克罗内克积。

  向量\(\vec a\)和向量\(\vec b\)的外积：

  \[\begin{bmatrix}
  b_1
  \\b_2
  \\ b_3
  \\ b_4
  \end{bmatrix}\bigotimes[a_1,a_2,a_3]=\begin{bmatrix}
  a_1b_1 & a_2b_1 & a_3b_1 \\
  a_1b_2 & a_2b_2 & a_3b_2 \\
  a_1b_3 & a_2b_3 & a_3b_3 \\
  a_1b_4 & a_2b_4 & a_3b_4 \\
  \end{bmatrix}
  \]

  外积的几何意义：

  \[\vec a=(x_1,y_1,z_1)\\
  \vec b=(x_2,y_2,z_2)\\
  \vec a\bigotimes\vec b=\begin{vmatrix}
  i & j & k\\
  x_1 & y_1 & z_1\\
  x_2 & y_2 & z_2
  \end{vmatrix}=(y_1z_2-y_2z_1)\vec i-(x_1z_2-x_2z_1)\vec j+(x_1y_2-x_2y_1)\vec k
  \]

  其中，

  \[\vec i=(1,0,0)\\
  \vec j=(0,1,0)\\
  \vec k=(0,0,1)
  \]

由于PyTorch可以实时输出运算结果，以PyTorch使用einsum表达式为例。

• 矩阵转置

  \[B_{ji}=A_{ij}
  \]

  a=torch.arange(6).reshape(2,3)
  

  >>>tensor([[0, 1, 2],
             [3, 4, 5]])
  

  torch.einsum('ij->ji',[a])
  

  >>>tensor([[0, 3],
            [1, 4],
            [2, 5]])
  

• 求和

  \[b=\sum_{i}\sum_{j}A_{ij}
  \]

  a=torch.arange(6).reshape(2,3)
  

  >>>tensor([[0, 1, 2],
             [3, 4, 5]])
  

  torch.einsum('ij->',[a])
  

  >>>tensor(15)
  

• 列求和(列维度不变，行维度消失)

  \[b_j=\sum_iA_{ij}
  \]

  a=torch.arange(6).reshape(2,3)
  

  >>>tensor([[0, 1, 2],
             [3, 4, 5]])
  

  torch.einsum('ij->j',[a])
  

  >>>tensor([ 3.,  5.,  7.])
  

• 列求和(列维度不变，行维度消失)

  \[b_i=\sum_jA_{ij}
  \]

  a=torch.arange(6).reshape(2,3)
  

  >>>tensor([[0, 1, 2],
             [3, 4, 5]])
  

  torch.einsum('ij->i', [a])
  

  >>>tensor([  3.,  12.])
  

• 矩阵-向量相乘

  \[c_i=\sum_k A_{ik}b_k
  \]

  a=torch.arange(6).reshape(2,3)
  

  >>>tensor([[0, 1, 2],
             [3, 4, 5]])
  

  torch.einsum('ik,k->i',[a,b])
  

  >>>tensor([  5.,  14.])
  

• 矩阵-矩阵乘法

  \[C_{ij}=\sum_{k}A_{ik}B_{kj}
  \]

  a=torch.arange(6).reshape(2,3)
  b=torch.arange(15).reshape(3,5)
  

  >>>tensor([[0, 1, 2],
             [3, 4, 5]])
  
  >>>tensor([[ 0,  1,  2,  3,  4],
             [ 5,  6,  7,  8,  9],
             [10, 11, 12, 13, 14]])
  

  torch.einsum('ik,kj->ij',[a,b])
  

  >>>tensor([[ 25,  28,  31,  34,  37],
             [ 70,  82,  94, 106, 118]])
  

• 点积

  • 向量

    \[c=\sum_i a_i b_i
    \]

    a=torch.arange(3)
    b=torch.arange(3,6)
    

    >>>tensor([0, 1, 2])
    >>>tensor([3, 4, 5])
    

    torch.einsum('i,i->',[a,b])
    

    >>>tensor(14.)
    

  • 矩阵

    \[c=\sum_i\sum_j A_{ij}B_{ij}
    \]

    a=torch.arange(6).reshape(2,3)
    b=torch.arange(6,12).reshape(2,3)
    

    >>>tensor([[0, 1, 2],
               [3, 4, 5]])
    
    >>>tensor([[ 6,  7,  8],
               [ 9, 10, 11]])
    

    torch.einsum('ij,ij->',[a,b])
    

    >>>tensor(145.)
    

• 外积

  \[C_{ij}=a_i b_j
  \]

  a=torch.arange(3)
  b=torch.arange(3,7)
  

  >>>tensor([0, 1, 2])
  >>>tensor([3, 4, 5, 6])
  

  torch.einsum('i,j->ij',[a,b])
  

  >>>tensor([[  0.,   0.,   0.,   0.],
             [  3.,   4.,   5.,   6.],
             [  6.,   8.,  10.,  12.]])
  

• batch矩阵乘

  \[C_{ijl}=\sum_{k}A_{ijk}B_{ikl}
  \]

  a=torch.randn(3,2,5)
  b=torch.randn(3,5,3)
  

  >>>tensor([[[-1.4131e+00,  3.8372e-02,  1.2436e+00,  5.4757e-01,  2.9478e-01],
              [ 1.3314e+00,  4.4003e-01,  2.3410e-01, -5.3948e-01, -9.9714e-01]],
  
             [[-4.6552e-01,  5.4318e-01,  2.1284e+00,  9.5029e-01, -8.2193e-01],
              [ 7.0617e-01,  9.8252e-01, -1.4406e+00,  1.0071e+00,  5.9477e-01]],
  
            [[-1.0482e+00,  4.7110e-02,  1.0014e+00, -6.0593e-01, -3.2076e-01],
             [ 6.6210e-01,  3.7603e-01,  1.0198e+00,  4.6591e-01, -7.0637e-04]]])
  
  >>>tensor([[[-2.1797e-01,  3.1329e-04,  4.3139e-01],
              [-1.0621e+00, -6.0904e-01, -4.6225e-01],
              [ 8.5050e-01, -5.8867e-01,  4.8824e-01],
              [ 2.8561e-01,  2.6806e-01,  2.0534e+00],
              [-5.5719e-01, -3.3391e-01,  8.4069e-03]],
  
             [[ 5.2877e-01,  1.4361e+00, -6.4232e-01],
              [ 1.0813e+00,  8.5241e-01, -1.1759e+00],
              [ 4.9389e-01, -1.7523e-01, -9.5224e-01],
              [-1.3484e+00, -5.4685e-01,  8.5539e-01],
              [ 3.7036e-01,  3.4368e-01, -4.9617e-01]],
  
             [[-2.1564e+00,  3.0861e-01,  3.4261e-01],
              [-2.3679e+00, -2.5035e-01,  1.8104e-02],
              [ 1.1075e+00,  7.2465e-01, -2.0981e-01],
              [-6.5387e-01, -1.3914e-01,  1.5205e+00],
              [-1.6561e+00, -3.5294e-01,  1.9589e+00]]])
  

  torch.einsum('ijk,ikl->ijl',[a,b])
  

  >>>tensor([[[ 1.3170, -0.7075,  1.1067],
              [-0.1569, -0.2170, -0.6309]],
  
             [[-0.1935, -1.3806, -1.1458],
              [-0.4135,  1.7577,  0.3293]],
  
             [[ 4.1854,  0.5879, -2.1180],
              [-1.4922,  0.7846,  0.7267]]])
  

• 张量缩约

  batch矩阵相乘是张量缩约的一个特例，比如有两个张量，一个n阶张量\(A\in \mathbb{R}^{I_1×l_2×...×I_n}​\)，一个m阶张量\(B\in \mathbb{R}^{J_1×J_2×...×J_m}​\)。取n=4，m=5，假定维度\(I_2=J_3​\)且\(I_3=J_5​\)，将这两个张量在这两个维度上(A张量的第2、3维度，B张量的第3、5维度)相乘，获得新张量\(C\in \mathbb{R}^{I_1×I_4×J_1×J_2×J_4}​\)，如下所示：

  \[C_{I_1×I_4×J_1×J_2×J_4}=\sum_{I_2==J_3}\sum_{I_3==J_5}A_{I_1×I_2×I_3×I_4}B_{J_1×J_2×J_3×J_4×J_5}
  \]

  a=torch.randn(2,3,5,7)
  b=torch.randn(11,13,3,17,5)
  
  torch.einsum('pqrs,tuqvr->pstuv', [a, b]).shape
  

  >>>torch.Size([2, 7, 11, 13, 17])
  

• 多张量计算

  如前所述，einsum可用于超过两个张量的计算，以双线性变换为例：

  \[D_ij=\sum_k\sum_lA_{ik}B_{jkl}C_{il}
  \]

  a=torch.randn(2,3)
  b=torch.randn(5,3,7)
  c=torch.randn(2,7)
  
  torch.einsum('ik,jkl,il->ij',[a,b,c]).shape
  

  >>>torch.Size([2,5])
  

在kimiyoung/transformer-xl的tf部分大量使用了einsum表达式。

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向量点乘（内积）和叉乘（外积、向量积）概念及几何意义解读

矩阵外积与内积

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