HNU 12933 Random Walks Catalan数 阶乘求逆元新技能

　　一个Catalan数的题，打表对每个数都求一次逆元会T，于是问到了一种求阶乘逆元的打表新方法。 比如打一个1~n的阶乘的逆元的表，假如叫inv[n]，可以先用费马小定理什么的求出inv[n]，再用递推公式求出前面的项。

　　我们记数字 x 的逆元为f(x) (%MOD)。

　　因为 n! = (n-1)! * n

　　所以 f(n!) = f( (n-1)! * n) = f( (n-1)! ) * f(n)。

　　所以 f( (n-1)! ) = f(n!) * f( f(n) ) = f(n!) * n   (逆元的逆元就是他自身)

这样子我们就可以用后项推出前面的项了。

题目是说，有一个人从0点开始走路，每次可以向前走或者向后走，每次可以走一步，但是所有的位置必须大于等于0，问走过2n步之后又回到0点有多少种方法。

　　其实，如果我们把向前走看做是进栈，向后走看做是出栈，方法数就是Catalan数。

　　所以我们只需要打一张表然后查表就好了。

代码：　

 #include <iostream>
 #include <cstdio>
 #include <cstring>
 #include <cstdlib>
 #include <cmath>
 #include <algorithm>
 #include <string>
 #include <queue>
 #include <stack>
 #include <vector>
 #include <map>
 #include <set>
 #include <functional>
 #include <cctype>
 #include <time.h>

 using namespace std;

 typedef __int64 ll;

 const int INF = <<;
 const int MAXN = (int) 2e6+;
 const ll MOD = (ll) 1e9+;

 ll ans[MAXN];
 ll fac[MAXN];
 ll inv[MAXN];

 inline ll myPow(ll x, ll n) {
     ll res = ;
     while (n>) {
         if (n&) res = (res*x)%MOD;
         x = (x*x)%MOD;
         n >>= ;
     }
     return res;
 }

 int main() {
     #ifdef Phantom01
         freopen("HNU12933.txt", "r", stdin);
     #endif //Phantom01

     fac[] = ;
     for (int i = ; i < MAXN; i++) fac[i] = (fac[i-]*i)%MOD;
     inv[MAXN-] = myPow(fac[MAXN-], MOD-);
     for (int i = MAXN-; i > ; i--) {
         inv[i] = (inv[i+]*(i+))%MOD;
     }

     for (int i = ; i < (MAXN>>); i++)
         ans[i] = (((fac[*i]*inv[i+])%MOD)*inv[i])%MOD;

     int T;
     scanf("%d", &T);

     int n;
     while (T--) {
         scanf("%d", &n);
         printf("%I64d\n", ans[n]);
     }

     return ;
 }

其中，这个是用来打阶乘逆元的：

     //阶乘
     fac[] = ;
     for (int i = ; i < MAXN; i++) fac[i] = (fac[i-]*i)%MOD;
     //逆元
     inv[MAXN-] = myPow(fac[MAXN-], MOD-);
     for (int i = MAXN-; i > ; i--) {
         inv[i] = (inv[i+]*(i+))%MOD;
     }