OJ 1188 全排列---康托展开

题目描述

求n的从小到大第m个全排列（n≤20）。

输入

n和m

输出

输出第m个全排列，两个数之间有一空格。

样例输入

3 2

样例输出

1 3 2

 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 const long long fac[] = {,,,,,,,,,,
                         ,,,,
                         ,,,
                         ,,,
                         };

 bool vis[];
 void invKT(int ans[], int n, int k)
 {
     int i, j, t;
     memset(vis, , sizeof(vis));
     k--;
     for (i=; i< n;++i)
     {
         t=k /fac[n- i-];
         for (j=; j<= n; j++)
             if (!vis[j])
             {
                 if (t == ) break;
                 t--;
             }
         ans[i] = j, vis[j] = true;
         k %= fac[n - i - ];
     }
 }

 int main()
 {
     int a[],n;
     long m;
     while(scanf("%d%ld",&n,&m)!=EOF)
     {
         invKT(a,n,m);
         for (int i = ; i <n;i++)
             printf("%d ",a[i]);
         printf("\n");
     }
     return ;
 }
 /**************************************************************
     Problem: 1188
     User: 2014217052
     Language: C++
     Result: 正确
     Time:3 ms
     Memory:1032 kb
 ****************************************************************/

时间用的还是有点多，据说加上递归会快。
还是要总结一下康托展开，以后用的方便些。

全排列的编码与解码——康托展开

一、康托展开：全排列到一个自然数的双射

X=an*(n-1)!+an-1*(n-2)!+...+ai*(i-1)!+...+a2*1!+a1*0!

ai为整数，0<=ai<i(1<=i<=n)

适用范围：没有重复元素的全排列（*注：注意应用范围）

二、全排列的编码：

{1,2,3,4,...,n}的排列总共有n!种，将它们从小到大排序，怎样知道其中一种排列是有序序列中的第几个？

如 {1,2,3} 按从小到大排列一共6个：123 132 213 231 312 321。想知道321是{1,2,3}中第几个大的数。

这样考虑：第一位是3，小于3的数有1、2 。所以有2*2!个。再看小于第二位，小于2的数只有一个就是1 ，所以有1*1!=1 所以小于32

的{1,2,3}排列数有2*2!+1*1!=5个。所以321是第6个大的数。2*2!+1*1!是康托展开。（注意判断排列是第几个时要在康托展开的结果后+1）

再举个例子：1324是{1,2,3,4}排列数中第几个大的数：

第一位是1小于1的数没有，是0个，0*3!，第二位是3小于3的数有1和2，但1已经在第一位了，所以只有一个数2，1*2! 。

第三位是2小于2的数是1，但1在第一位，所以有0个数，0*1!，所以比1324小的排列有0*3!+1*2!+0*1!=2个，1324是第三个大数。

又例如，排列3 5 7 4 1 2 9 6 8展开为98884，因为X=2*8!+3*7!+4*6!+2*5!+0*4!+0*3!+2*2!+0*1!+0*0!=98884.

解释：

排列的第一位是3，比3小的数有两个，以这样的数开始的排列有8!个，因此第一项为2*8!

排列的第二位是5，比5小的数有1、2、3、4，由于3已经出现，因此共有3个比5小的数，这样的排列有7!个，因此第二项为3*7!

以此类推，直至0*0!

代码：

 #include<cstdio> 

 const int fac[] = {, , , , , , , , };///阶乘 

 int KT(int s[], int n) 

 { 

     int i, j, cnt, sum; 

     sum = ; 

     for (i = ; i < n; ++i) 

     { 

         cnt = ; 

         for (j = i + ; j < n; ++j) 

             if (s[j] < s[i]) ++cnt; 

         sum += cnt * fac[n - i - ]; 

     } 

     return sum; 

 } 

 int main() 

 { 

     int a[] = {, , , , , , , , }; 

     printf("%d\n",  + KT(a, sizeof(a) / sizeof(*a))); ///1+98884 

 }

三、全排列的解码

如何找出第16个（按字典序的）{1,2,3,4,5}的全排列？

1. 首先用16-1得到15

2. 用15去除4! 得到0余15

3. 用15去除3! 得到2余3

4. 用3去除2! 得到1余1

5. 用1去除1! 得到1余0

有0个数比它小的数是1，所以第一位是1

有2个数比它小的数是3，但1已经在之前出现过了所以是4

有1个数比它小的数是2，但1已经在之前出现过了所以是3

有1个数比它小的数是2，但1,3,4都出现过了所以是5

最后一个数只能是2

所以排列为1 4 3 5 2

 #include<cstdio> 

 #include<cstring> 

 const int fac[] = {, , , , , , , , };///阶乘 

 bool vis[]; 

 ///n为ans大小，k为全排列的编码 

 void invKT(int ans[], int n, int k) 

 { 

     int i, j, t; 

     memset(vis, , sizeof(vis)); 

     --k; 

     for (i = ; i < n; ++i) 

     { 

         t = k / fac[n - i - ]; 

         for (j = ; j <= n; j++) 

             if (!vis[j]) 

             { 

                 if (t == ) break; 

                 --t; 

             } 

         ans[i] = j, vis[j] = true; 

         k %= fac[n - i - ];///余数 

     } 

 } 

 int main() 

 { 

     int a[]; 

     invKT(a, , ); 

     for (int i = ; i < ; ++i) 

         printf("%d ", a[i]);///1 4 3 5 2 

 }