洛谷 P2467 地精部落 解题报告

P2467 [SDOI2010]地精部落

题目描述

传说很久以前，大地上居住着一种神秘的生物：地精。

地精喜欢住在连绵不绝的山脉中。具体地说，一座长度为\(N\)的山脉\(H\)可分为从左到右的\(N\)段，每段有一个独一无二的高度\(H_i\)，其中\(H_i\)是1到\(N\)之间的正整数。

如果一段山脉比所有与它相邻的山脉都高，则这段山脉是一个山峰。位于边缘的山脉只有一段相邻的山脉，其他都有两段（即左边和右边）。

类似地，如果一段山脉比所有它相邻的山脉都低，则这段山脉是一个山谷。

地精们有一个共同的爱好——饮酒，酒馆可以设立在山谷之中。地精的酒馆不论白天黑夜总是人声鼎沸，地精美酒的香味可以飘到方圆数里的地方。

地精还是一种非常警觉的生物，他们在每座山峰上都可以设立瞭望台，并轮流担当瞭望工作，以确保在第一时间得知外敌的入侵。

地精们希望这\(N\)段山脉每段都可以修建瞭望台或酒馆的其中之一，只有满足这个条件的整座山脉才可能有地精居住。

现在你希望知道，长度为\(N\)的可能有地精居住的山脉有多少种。两座山脉\(A\)和\(B\)不同当且仅当存在一个\(i\)，使得\(A_i≠B_i\)。由于这个数目可能很大，你只对它除以P的余数感兴趣。

输入输出格式

输入格式：

goblin.in仅含一行，两个正整数\(N\),\(P\)。

输出格式：

输出文件goblin.out仅含一行，一个非负整数，表示你所求的答案对\(P\)取余之后的结果。

【数据规模和约定】

对于20%的数据，满足\(N≤10\)；

对于40%的数据，满足\(N≤18\)；

对于70%的数据，满足\(N≤550\)；

对于100%的数据，满足\(3≤N≤4200,P≤10e9\)。

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简化一下题目，对于长度为\(n\)的 只由\(1\)~\(n\)组成的 波动数列，求它有多少种组合方式。

波动数列感性理解一下，即是锯齿状大概。

我们需要用波动数列这样两个性质来帮助我们求解。

1. 对于 数值 为\(j\)和\(j-1\)的两个数，如果它们在 位置上 不相邻，我们交换它们的位置后，原数列仍然是波动数列。

2. 对于波动数列\(1\)~\(i\),用\(i+1\)减去每个位置上的数，得到的仍是波动数列。（就是把数列翻过来了emmmm）

基于以上两个性质，令\(dp[i][j]\)代表当前数列\(1\)~\(i\)，第一个数\(j\)为峰值时的方案数。

则转移为

\(dp[i][j]=dp[i][j-1]+dp[i-1][i-1+1-(j-1)]\)

\(dp[i][j-1]\)即为两者不相邻的情况，这时方案数就是峰顶为\(j-1\)时的方案数

\(dp[i-1][i-1+1-(j-1)]\)为两者相邻的情况，即从长度为\(i-1\)的，以\(j-1\)为峰顶的数列，翻转后转移过来。（相当于接在了前面）

由性质2，翻转后的方案数是不会发生改变的，当然，把每个数加上1也是。

我们可以拿滚动数组优化一下空间。

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code:

#include <cstdio>
const int N=4210;
int dp[2][N],n,p,ans=0;
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&p);
    dp[0][2]=1;
    for(int i=3;i<=n;i++)
        for(int j=2;j<=i;j++)
            dp[i&1][j]=(dp[(i-1)&1][i-j+1]+dp[i&1][j-1])%p;
    for(int i=2;i<=n;i++)
        ans=(ans+dp[n&1][i])%p;
    printf("%d\n",(ans<<1)%p);
    return 0;
}

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2018.5.22