WD与循环 组合数学

WD与循环

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为什么大家都是先算\(n\)个数的和等于\(m\)的情况再求前缀和？

既然已经想到了插板法，为什么不直接对\(n\)个数的和\(\le m\)的情况做呢？

基本套路没有变：考虑对于\(n\)个非负整数，先变成\(n\)个正整数，求和\(\le m + n\)的情况。下面是不同的地方：在\(m + n\)个小球之间插入\(n\)块板子，具体地说，在每个球的右边可以插入一块板子，对于从左往右数第\(i\)块板子，它到第\(i - 1\)块板子或者左端点之间的小球数就是第\(i\)个数，对于最右边的一块板子，它左边的板子数即没有被分到任何一个数中的小球个数一定\(\ge 0\)，这正好对应了我们\(\le m + n\)的条件。得到式子\(\binom {n + m} {n}\)，lucas定理即可。

yyb是我们的红太阳，%yyb有益身心健康

//written by newbiechd
#include <cstdio>
#include <cctype>
#define R register
#define I inline
#define B 1000000
#define L long long
using namespace std;
const int yyb = 19491001;
char buf[B], *p1, *p2;
I char gc() { return p1 == p2 && (p2 = (p1 = buf) + fread(buf, 1, B, stdin), p1 == p2) ? EOF : *p1++; }
I L rd() {
    L f = 0;
    R char c = gc();
    while (c < 48 || c > 57)
        c = gc();
    while (c > 47 && c < 58)
        f = f * 10 + (c ^ 48), c = gc();
    return f;
}
L a[yyb];
I L pow(L x, L y) {
    L r = 1;
    for (x %= yyb; y; y >>= 1, x = x * x % yyb)
        if (y & 1)
            r = r * x % yyb;
    return r;
}
I L com(L n, L m) {
    if (m > n)
        return 0;
    return a[n] * pow(a[m], yyb - 2) % yyb * pow(a[n - m], yyb - 2) % yyb;
}
L lucas(L n, L m) {
    if (!m)
        return 1;
    return com(n % yyb, m % yyb) * lucas(n / yyb, m / yyb) % yyb;
}
int main() {
    R int T = rd(), i;
    L n, m;
    a[0] = 1;
    for (i = 1; i < yyb; ++i)
        a[i] = a[i - 1] * i % yyb;
    for (i = 1; i <= T; ++i)
        n = rd(), m = rd(), printf("%lld\n", lucas(n + m, n));
    return 0;
}