ZROI 暑期高端峰会 A班 Day5 计算几何
内积(点积)
很普及组,不讲了。
\[(a,b)^2\le(a,a)(b,b)\]
外积(叉积)
也很普及组,不讲了。
旋转
对于矩阵 \(\begin{bmatrix}\cos\theta\\\sin\theta\end{bmatrix}\),在左边乘一个 \(\begin{bmatrix}cos\omega&\sin\omega\\sin\omega&-\cos\omega\end{bmatrix}\),就能变成 \(\begin{bmatrix}\end{bmatrix}\)
(第一类正交矩阵???)
反转
(第二类正交矩阵???)
(怎么没听说过?)
某经典题
补前面的公式漏掉了/kk
Simpson 积分
很普及组,不讲了。
一些基础东西
点和直线距离:点积随便搞。
向量位置关系:叉积判掉不平行,点积判掉反向,最后长度判掉即可。
线段是否相交:等价于任意一条线段与另一条线段所在的直线均有交点。特判一下平行和共线的情况(判是平行还是共线,可以连接一对端点,叉积判断;对于共线,简单判断两条线段是否相离即可)。
线段交点:先点积一波,然后应该就能随便搞了。
线段之间距离:如果有交点就是 0,否则答案一定在端点处取到。
多边形面积:固定一个点,逆时针对于每条边,求这个点和这条边组成的有向三角形面积,求和。
判断多边形是否凸:叉积判断。
判断一个点是否在多边形(不一定凸)内:过点作水平向右的射线,判断与多少条边相交,偶数条就在多边形外,否则在多边形内。注意先判掉是否在多边形上。
求凸包:不讲了。
求凸包直径:旋转卡壳。
求凸多边形和射线交的面积:求出与哪些边有交,直接搞即可。
平面最近点对:分治。按 \(x\) 排序,分别求左边和右边的最近点对距离。对于每个左边的点,根据一些推理可得它只会和右边的至多 6 个点对答案可能有贡献。而且是 \(y\) 离它前 6 近的两个点。复杂度 \(O(n\log n)\)。
求圆和直线的交点:先求直线到圆心的距离,然后就随便搞了。
求两个圆的交点:求两个圆心距离,然后就随便搞了。
求点到圆的切点:求点到圆心距离,然后就随便搞了。
求两个圆的公切线:反正都是随便搞了。
求圆和多边形交的面积:先把多边形拆成很多有向三角形。如果整个三角形在圆内,返回三角形面积;如果整个三角形在圆外,返回 0;如果三角形只有一个点在圆内,返回一个类似扇形的面积。否则选择任意一条过不在圆内的顶点的边,将这条边与圆的交点拎出来,按照这些交点把三角形划分成若干个小三角形,递归求解。实际上只会递归常数层。
最小圆覆盖:随机增量即可。
[HAOI2008]下落的圆盘
\(n\) 个圆盘从天而降,后面的会盖住前面的,问最后可见的轮廓线总长。
\(n\le 1000\)
对于每个圆盘,暴力判断后面所有圆盘覆盖了这个圆盘的哪些角度区间。
CF932F
见 Blogewoosh #7
SB 题,不讲了。
XV Open Cup named ... Directions
给若干个向量,每个向量有个代价,可以选若干个,要求能用非负系数组合他们,组合出任意向量,问最小代价和。
\(n\le 2\times 10^5\)
(在讲题之前自己先瞎 YY 一波,感觉挺对)
把向量移到同一个起点。对于两个向量,用非负系数组合他们,能组合出的向量的终点应该在那块小于 180 度的半平面交处。
那么问题就变成选出一些向量,使得起点处被分出的每个角,都小于 180。然后就不会了。
咕了。
CF1025F
给定 \(n\) 个点,问有多少对三角形不相交。
\(n\le 2000\)。
两个三角形不相交等价于它们有两条内公切线。
求出内公切线条数,除以 2 即可。
枚举内公切线,维护两边点数。扫描线可以做到 \(O(n^2\log n)\)。
圆反演
先固定一个反演中心 \(O\) 和一个反演半径 \(r\)。
对于一个点 \(P\),反演后会变成 \(P'\),其中 \(P,O,P'\) 三点共线,且 \(P,P'\) 在 \(O\) 同侧,且 \(OP\cdot OP'=r^2\)。
一些性质:
\(P\) 反演再反演后还是 \(P\)。
过反演中心的圆,会反演成不过反演中心的直线。
不过反演中心的圆,会反演成另一个不过反演中心的圆,它们的位似中心就是反演中心,位似比是……反正是 \(r\) 还是 \(r^2\)。
过反演中心的直线,反演后是它自己。
以反演中心为圆心,反演半径为半径作圆,那么圆上的点反演后还在圆上,圆内的点反演后在圆外,圆外的点反演后在圆内。
BZOJ2961
\(n\) 次操作,每次要么加入一个过原点的圆,要么询问一个点是否在所有圆的内部。
\(n\le 5\times 10^5\)
圆反演,过原点的圆反演成一条不过原点的直线。
问题变为询问一个点,将这个点以原点为反演中心圆反演后,是否在所有直线外侧(外是不包含原点的一半)。
动态半平面交。
HDU 4773
给定平面上不相交的两个圆和圆外的一点,求过这个点且与这两个圆外切的圆。可能有多个。
可以暴算。这里说圆反演的做法。
把圆外一点看作原点,那么要求的圆会变成一条直线,给定的两个圆会变成另外两个圆。
就是求新的两个圆的公切线,再反演回去就好了。
Codechef QPOINT
给定 \(n\) 个不相交的多边形,强制在线,\(q\) 组询问,给出一个点,问它在那个多边形内(或者不在任何一个多边形内)
\(n,q\le 10^5\),点数和 \(\le 3\times 10^5\)
过这个点向上做一条射线。
如果没有与任何一条边相交,那就不在任何一个多边形内。
如果第一条有交的边是从右往左的,那么就是这条边所在的多边形。
如果第一条有交的边是从左往右的,那就不在任何一个多边形内。
需要维护边的上下关系。
如果可以离线,那么就按 \(x\) 排序,扫描线 + set 就没了。
否则就要用可持久化 treap。
CF704E
一棵树,\(m\) 个事件:在 \(t_i\) 时刻 \(x_i\) 上会出现一个人,以每秒 \(c_i\) 条边的速度移动到 \(y_i\)。移动是连续的,且移到终点后瞬间消失。
问最早什么时刻,两个人出现在同一点上。
\(n,m\le 10^5\)。
树剖。
考虑 \(x\) 轴是时间,\(y\) 轴是 DFS 序。一次移动就是一条线段。
变成有 \(O(m\log n)\) 条线段,问 \(x\) 坐标最小的交点。
按 \(x\) 扫描线。用 set 维护所有线段的 \(y\) 的相对大小关系。
如果两条线段有交,它们一定在某个时刻在 set 中相邻。如果没有线段有交,大小关系一定不变。
每次加入一条线段,判断和前驱后继有没有交。每次删除一条线段,判断前驱和后继有没有交。
复杂度 \(O(m\log^2 n)\)。
CF799G
给一个凸多边形,\(q\) 组询问,给出 \((x_i,y_i)\),如何切经过 \((x_i,y_i)\) 的一刀,平分这个多边形。输出极角,或者输出无解。
\(n\le 10^4,q\le 10^5\)。
设 \(f(x)\) 表示极角为 \(x\) 的射线左侧的面积减掉右侧的面积。
所以 \(f(0)=-f(\pi)\)。所以肯定有零点。可以二分零点。
问题变成如何计算 \(f(x)\)。
考虑对叉积计算前缀和,实际上是对凸多边形求了个三角剖分。
二分出卡在哪两条边上,那么跟射线有关的有向三角形只有 2 个。这两个直接算,剩下的预处理前缀和/后缀和。
复杂度两个 \(\log\)。
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