2019暑期金华集训 Day6 计算几何

自闭集训 Day6

计算几何

内积

内积不等式：
\[
(A,B)^2\le (A,A)(B,B)
\]
其中\((A,B)\)表示\(A\cdot B\)。

（好像是废话？）

叉积

\[
A\times B=|A||B|\sin \theta
\]

二维叉积：\(A\times B=x_1y_2-x_2y_1\)。

三维叉积：
\[
A\times B=\left|
\begin{matrix}
i&j&k\\
Ax&Ay&Az\\
Bx&By&Bz
\end{matrix}
\right|
\]
叉积判直线关系：？？

极角

atan2(y,x)，返回值\((-\pi,\pi]\)。

如果极角相差较大可以用这个来判，否则由于精度问题可能要用叉积。在值域\(10^9\)的时候这个函数可能基本没用。

旋转

向量的旋转，直接用三角函数公式推一推即可，可以写成矩阵的形式。

经典题

每时刻有旋转/平移/缩放等操作，问一个向量在\([l,r]\)中操作之后会变成什么。

直接写成矩阵乘法的形式，用线段树维护。

Simpson积分

对于二次函数\(f(x)\)，有
\[
\int_{x=l}^r f(x)\mathrm dx=\frac{(r-l)(f(l)+f(r)+4f((l+r)/2))}{6}
\]
对于其他函数，可以用二次函数拟合。

Projection

求\(P\)在直线\(P_1P_2\)上的投影点/对称点。

直接把直线\(P_1P_2\)的垂线做出来，求个交，就没了。

也可以用点积得到\(PP_1\)在\(P_1P_2\)上的投影长度，然后也可以求出垂足。

向量的位置关系

直接点积叉积乱搞一通就没了。

直线的位置关系、线段的位置关系都差不多。

线段是否相交

先把直线平行、直线重合判掉。

然后分别把两条线段的端点取出来，看是否在另一条直线的两边。

（老师给的方法：先判外接矩形是否相交，然后再做跨立实验）

线段交点

把直线重合判掉，然后当成直线来求交点。

线段之间距离

距离定义为最近点对的距离。

如果有交点则为0，否则变成点到线段距离。

点到线段距离？点积判一下端点之间位置关系然后直接做。

多边形面积

不保证多边形是凸的。

直接在二维平面上随便选一个点然后叉积。

判凸包

直接叉积就没了。

判点在多边形内

射线法大家都知道，但有很多恶心的边界情况。

两种方法：

第一种：把斜率设成一个奇怪的无理数，多半可以跳过所有边界情况。

第二种：钦定射线向右，把所有边界情况都判了就完事了。

边界：

1. 如果射线与边重合那么continue。
2. 如果穿过了\(AB\)的\(A\)，而且\(AB\)向下，那么计数器++。
3. 如果穿过了\(AB\)的\(B\)，而且\(AB\)向上，那么计数器++。
4. 如果点在边上那么直接返回。

求凸包

大家都会？

求凸包直径

旋转卡壳。

求凸包在射线左边的面积

把有关的点抠出来，仍然是一个凸包，然后算面积即可。

平面最近点对距离

K-D Tree多好

分治，然后发现左边匹配右边只会有\(O(1)\)个点有可能产生贡献，于是没了。

圆的关系

相离，外切，相交，内切，内含。

圆心和半径的关系乱搞即可。

求圆和直线的交点

知道半径、知道圆心到直线的距离，于是可以得到弦长，于是没了。

求两个圆的交点

可以求出交点的直线方程，于是没了。

当然，也可以用余弦定理解三角形得到答案。

点到圆的切点

知道半径、知道距离、知道有一个直角，于是可以解三角形。

两个圆的公切线

首先判掉内含、内切。

此时必然有两条外公切线，解一解三角形。

内公切线类似。

求圆和多边形交的面积

可以通过有向面积化成三角形和圆的交的面积。注意到三角剖分的原点任意，可以设为圆心。

如果三个点都在里面那么很容易。

否则就把线段\(AB\)与圆的交点搞出来，把三角形切开，递归搞。

只会递归常数层，但比较好写。

bzoj1043

直接暴力，对于每个圆盘求出后面的圆盘盖掉它的角度区间，求个区间并就没了。

角度区间可以求圆的交点来求。

CF932F

设\(dp_x\)表示从\(x\)跳到某个叶子的最小代价，从下往上DP。

每次求\(x\)的答案的时候发现就是一个斜率优化，启发式合并把子树内的凸包合起来就没了。

DSU on tree维护凸包也可以。

然后就是要支持往凸包里插入一个点，拿set乱搞即可。

某题

发现最多选4个向量，而且选4个向量的时候只能是互相垂直的，可以判掉。于是只要选3个向量，使得相邻两个向量的夹角小于180。

然后把所有向量反向再加进去，正向的设为红色，反向的设为绿色。

于是我们就要找形如“红绿红”的三条向量，并且两个红向量的夹角小于180。

枚举第一个红向量，数据结构维护后面两个的最小值。

CF1025F

结论：三角形不相交等价于能做出两条内公切线。

然后枚举一条公切线，答案就是公切线两边分别选两个点的方案数。

bzoj2961

圆反演，点在圆内转化为点在直线的某一侧。

于是变成动态半平面交，也许可以转化为凸包做？

圆反演

对于一个点\(P\)，如果\(P\)对\(O\)反演，那么\(P\)仍然在射线\(OP\)上，距离变为原来的倒数。

一条不过\(O\)的直线反演后变成一个过\(O\)的圆，反之亦然。

不过\(O\)的圆反演后仍然是不过\(O\)的圆。

HDU4773

圆反演，就变成了求两个圆的某个特定公切线。（注意原题需要外切，所以不能乱搞公切线）

Codechef QPOINT

注意“不相交”也保证了两个多边形不能相互包含。

考虑射线法，看一个点往上对着的第一个线段，如果是从右往左那么就在多边形外，否则在多边形内。（假设边是按顺时针走的）

如果可以离线，那么按\(x\)排序一下从左往右搞，因为没有相交的边，所以用set很好维护。

不能离线，那么用可持久化treap维护。

细节很多，也许旋转某个无理数角度会有点用？

CF704E

树剖，把树上的问题转化为序列上的问题。

以时间为\(x\)轴、位置\(y\)轴，那么一次位移就是二维平面的一条线段。

问题就转化为\(m\log n\)条线段什么时候最早相交。

按\(x\)坐标扫描线，用\(set\)维护所有线段的\(y\)的相对大小关系。

如果两条线段有交，那么他们一定会有某个时刻在set里是相邻的。

又因为我们只需要求最早的交点，所以我们可以认为set里面的线段永远不相交，因为当我们跑到相交的时间的时候就要直接返回答案了。

于是每次加入一条线段的时候判一下和前驱后继相交的时间，更新一下结束时间。如果当前时间超出了结束时间那么就可以直接返回了。

CF799G

设\(f(x)\)表示极角为\(x\)的射线左边面积减去右边面积，那么有\(f(0)=-f(\pi)\)。

所以中间必然存在零点，可以二分这个零点。

考虑二分了一个极角之后怎么求\(f(x)\)。可以使用二分得到这条射线与凸包的各种交点，然后用各种前缀和得到面积，所以可以\(O(\log n)\)得到\(f(x)\)。

所以我们\(O(n\log^2 n)\)做出了答案。

（听起来细节就特别特别多……）