Dirichlet 卷积学习笔记

Dirichlet 卷积学习笔记

数论函数：数论函数亦称算术函数，一类重要的函数，指定义在正整数集上的实值或复值函数，更一般地，也可把数论函数看做是某一整数集上定义的函数。

然而百科在说什么鬼知道呢，感性理解一下，数论函数的定义域是正整数，值域也是正整数。

数论函数的相关运算与性质

• 设有数论函数\(\bf{h,f,g}\)。

1. 加法运算

   \((\mathbf {f}+\mathbf {g})(n)=\mathbf {f}(n)+\mathbf {g}(n)\)

   即每项相加

2. 数乘运算

   \((x\mathbf f )(n)=x\mathbf f(n)\)

   即每项相乘

3. 卷积乘\(*\)

   若\(\mathbf h=\mathbf f*\mathbf g\)

   那么\(\mathbf h(n)=\sum\limits_{i|n}\mathbf f(i)\mathbf g(\frac{n}{i})\)

4. 交换律

   \(\bf f*g=g*f\)

   显然

5. 结合律

   \((\mathbf f*\mathbf g)*\mathbf h=\mathbf f*(\mathbf g*\mathbf h)\)

   意会

6. 分配律

   \((\mathbf f+ \mathbf g)*\mathbf h=\mathbf f*\mathbf h+\mathbf g*\mathbf h\)

   意会

7. 单位元

   定义数论函数\(\epsilon(n)=[n=1]\)

   对任意\(\mathbf f\)，有\(\mathbf f=\mathbf f*\epsilon\)

   显然

8. 逆元

   对于任意的\(\mathbf f(1)\not=0\)的数论函数，存在一个\(\mathbf g\)使得\(\mathbf g*\mathbf f=\epsilon\)

   对于\(\mathbf g\)有构造

   \[\mathbf g(n)=\frac{1}{\mathbf f(1)}([n=1]-\sum_{i|n,i\not=1}\mathbf f(i)\mathbf g({\frac{n}{i}}))
   \]

   证明代入卷积计算就可以了。

9. 积性函数

   满足若\(a \bot b\)，那么\(\mathbf f(ab)=\mathbf f(a)\mathbf f(b)\)的数论函数被成为积性函数。

10. 两个积性函数的卷积是积性函数

    证明重要吗

11. 一个积性函数的逆也是积性函数

    证明重要吗

12. 任何一个积性函数都可以线性筛出来

常见积性函数及其性质

令\(n=\prod\limits_{i=1}^k p_i^{c_i}\)

• \(\mathbf 1(n)=1\)，常函数
• \(\mathbf {Id}(n)=n\)，常函数
• \(\mathbf {Id}^k(n)=n^k\)，常函数的一般形式
• \(\epsilon(n)=[n=1]\)，单位元
• \(\mu(n) = [\max(c_1,c_2,\dots,c_k) \le 1](-1)^k\) ，莫比乌斯函数
• \(\varphi(n)=n\prod\limits_{i=1}^k(1-\frac{1}{p_i})\)，欧拉函数
• \(\mathbf d(n)=\sum\limits_{d|n}1\)，约数个数
• \(\sigma(n)=\sum\limits_{d|n}d\)，约数和
• \(\lambda(n)=(-1)^k\)

1. 莫比乌斯函数

   我们尝试把\(\mu\)给定义出来，定义\(\mu\)为\(\mathbf 1\)的逆。

   则有\(\mu * \mathbf 1=\epsilon\)

   换成我们熟悉的形式就是\(\sum_{d|n}\mu(d)=[n=1]\)

   尝试构造\(\mu\),显然\(\mu(1)=1\)。

   然后发现对于质数\(p\),满足\(\sum_{d|p^k}\mu=0\),即\(1+\mu(p)+\mu(p^1)+\dots+\mu_(p^k)=0\)。

   通过一些简单的反证可以得到\(\mu(p^k)=-[k\le 1],k\not=0\)

   因为\(\mathbf1\)是积性函数，所以\(\tt{Ta}\)的逆\(\mu\)也是积性函数。

   然后我们就可以得到\(Ta\)的函数式，即

   \(\mu(n) = [\max(c_1,c_2,\dots,c_k) \le 1](-1)^k\)

   或者说是

   \[\mu(n)=\left\{\begin{aligned}(-1)^k \ \ if \ squarefree \\0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ohterwise\\\end{aligned}\right.
   \]

   特殊的，\(\mu(1)=1\).

   \(squarefree\) 表示对\(n\)，\(\forall c_i=1\).

   之类的一些定义。

   • 莫比乌斯反演

     若\(\mathbf g=\mathbf f *\mathbf 1\),那么\(\mu*\mathbf g=\mathbf f*\mu*\mathbf 1\)，即\(\mathbf f=\mu*\mathbf g\)

     换成熟悉的形式，若\(\mathbf g(n)=\sum\limits_{d|n}\mathbf f(d)\)，那么$\mathbf f(n)=\sum\limits_{d|n} \mu(d)\times \mathbf g(\frac{n}{d}) $，于是我们较为简单的证明了反演。

     对于实际中更加常用的第二类反演，我们可以定义一种类似与卷积的新运算进行证明。

   筛法：

   for(int i=2;i<=N;i++)
       {
           if(!ispri[i])
           {
               mu[i]=-1;
               pri[++cnt]=i;
           }
           for(int j=1;j<=cnt&&pri[j]*i<=N;j++)
           {
               ispri[i*pri[j]]=1;
               if(i%pri[j]==0) break;
               else mu[i*pri[j]]=-mu[i];
           }
       }
   

2. 欧拉函数

   其实这个也可以定义出来的，不过从意义的角度说明\(\tt{Ta}\)会更加的自然。

   \(\varphi(n)\)代表\(1 \sim n-1\)中与\(n\)互质的数的个数，考虑证明\(\tt{Ta}\)的计算式。

   可以用容斥说明一波，不过这个用用和积性函数有关的东西叭。

   \(\varphi(p^k)=p^k-p^{k-1}=p^k(1-\frac{1}{p})\)

   唯一分解\(n=\prod\limits_{i=1}^k p_i^{c_i}\)

   那么\(\varphi(n)=\prod\limits_{i=1}^kp_i^{c_i}(1-\frac{1}{p_i})=n\prod\limits_{i=1}^k(1-\frac{1}{p_i})\)

   然后我们考虑证明\(Ta\)的一个性质，\(\varphi *\mathbf 1=\mathbf {Id}\)，也就是我们熟悉的\(\sum_{d|n}\varphi(d)=n\)。

   证明起来很简单，设\(\mathbf t=\varphi *\mathbf 1\)，那么\(\mathbf t\)为积性函数，我们先搞出\(\tt{Ta}\)的素数幂的式子，然后乘起来就行了。

   筛法

   for(int i=2;i<=N;i++)
       {
           if(!ispri[i])
           {
               pri[++cnt]=i;
               phi[i]=i-1;
           }
           for(int j=1;j<=cnt&&i*pri[j]<=N;j++)
           {
               ispri[i*pri[j]]=1;
               if(i%pri[j]==0)
               {
                   phi[i*pri[j]]=phi[i]*pri[j];
                   break;
               }
               else
                   fphi[i*pri[j]]=phi[i]*(pri[j]-1);
           }
       }
   

3. 其他相关性质

   • \(\varphi *\mathbf 1=\mathbf {Id}\Rightarrow \varphi=\mu *\mathbf {Id}\)

   • \(\mathbf d=\mathbf1 *\mathbf1 \Rightarrow \mu*\mathbf d=\mathbf1\)

   • \(\sigma=\mathbf {Id}*\mathbf 1 \Rightarrow \mathbf {Id}=\sigma*\mu\)或\(\sigma=\mathbf {Id}*\mathbf 1 \Rightarrow \sigma=\varphi*\mathbf d\)