SOJ 4454 （矩阵快速幂）

先引入数的快速幂

例如计算2的5次方，常规算法2*2*2*2*2，利用快速幂的思想，求出5的二进制表达式101，权值为1和4的位上数字为1，即2^5=2^1*2^4。代码如下，时间复杂度为O(logn)

#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod=1000000007;
ll quick_pow(int n,int p)
{
    ll ans=1;
    ll m=n;
    while(p)
    {
        if(p%2) ans=(ans*m)%mod;
        m=(m*m)%mod;
        p>>=1;
    }
    return ans;
}
int main (void)
{
    int n,p;
    cin>>n>>p;
    cout<<quick_pow(n,p)<<endl;
    return 0;
}

矩阵快速幂：优化递推效率高，以soj 4454为例，n可达10^18，逐项递推不可能，将问题转化为求矩阵的幂，

递推式：

矩阵相乘时间复杂度为O(n^3)，而在求矩阵的幂时利用快速幂的思想，可以将时间复杂度由O(n)转化为O(logn)

代码如下：【注意取模

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod=1000000007;
const int N=3;
//a*f(x-1)+b*f(x-2)+c
int a,b,c;
ll f1,f2;
struct Matrix
{
    int row,cal;
    ll m[N][N];
    Matrix()
    {
        row=3,cal=3;
        m[0][0]=a,m[0][1]=1,m[0][2]=0;
        m[1][0]=b,m[1][1]=0,m[1][2]=0;
        m[2][0]=c,m[2][1]=0,m[2][2]=1;
    }
};
Matrix init(Matrix a,ll t)
{
    for(int i=0;i<a.row;i++)
        for(int j=0;j<a.cal;j++)
            a.m[i][j]=t;
    return a;
}
Matrix mul(Matrix a,Matrix b)
{
    Matrix ans;
    ans.row=a.row,ans.cal=b.cal;
    ans=init(ans,0);
    for(int i=0;i<a.row;i++)
        for(int j=0;j<b.cal;j++)
            for(int k=0;k<a.cal;k++)
                ans.m[i][j]=(ans.m[i][j]+a.m[i][k]*b.m[k][j])%mod;
    return ans;
}
Matrix add(Matrix a,Matrix b)
{
    Matrix ans;
    for(int i=0;i<a.row;i++)
        for(int j=0;j<a.cal;j++)
            ans.m[i][j]=(a.m[i][j]+b.m[i][j])%mod;
    return ans;
}
ll quick_pow(ll n)
{
    if(n==1) return f1;
    if(n==2) return f2;
    n-=2;
    Matrix ans,t;
    ans.row=1,ans.cal=3;
    ans.m[0][0]=f2,ans.m[0][1]=f1,ans.m[0][2]=1;
    while(n)
    {
        if(n%2) ans=mul(ans,t);
        t=mul(t,t);
        n>>=1;
    }
    return ans.m[0][0];
}
int main (void)
{
    ll n;
    f1=2,f2=2;
    a=1,b=3,c=1;
    while(cin>>n)
        cout<<quick_pow(n)<<endl;
    return 0;
}