使用辗转相除法求两个数的最大公因数（python实现）

数学背景：

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整除的定义：

　　　　任给两个整数a,b,其中b≠0，如果存在一个整数q使得等式

                                       a = bq

　　　　成立，我们就说是b整除a,记做b|a.

  性质1：如果c|a,c|b,且对于任意的整数m,n,则有c|ma + nb

  证明： 利用上述定义进行证明

            因为c|a ,c|b，所以有a = c*q₁,b = c*q₂,

            对于任意m,n有，ma+nb = m(c*q₁) + n(c*q₂) = c(m*q₁ + n*q₂),

            因为m*q₁ +n*q₂为整数，很显然有 c|ma + nb .

  带余除法： 设a,b 是两个整数，其中b > 0 ,则存在两个唯一的整数q和r，使得

                              a = b*q + r,          0≤ r < b

                   成立.

  公因数和最大公因数的定义：

　　　　设a₁,a₂,a₃,......,a_n是n个不全为0的整数，若整数d是它们之中每一个数的因数，那么d就叫做a₁,a₂,a₃,......,a_n的一个公因数.这时它们的公因数只有有限个，整数a₁,a₂,a₃,......,a_n的公因数中最大的一个叫做最大公因数，记做（a₁,a₂,a₃,......,a_n）,若（a₁,a₂,a₃,......,a_n）=1，我们说a₁,a₂,a₃,......,a_n互素.

  定理1：设a,b,c是任意三个不全为零的整数，且 a = bq + c,其中q是整数，则(a,b) = (b,c).也就是说，a和b的最大公因数等于b和c的最大公因数.

  证明： 因为(a,b)是a和b的最大公因数，所以(a,b)|a,且(a,b)|b,由于c = a - bq,所以由性质1可以知道(a,b)|c，所以可以看到，(a,b)是b,c的一个公因数,而由公因数的定义可以知道 (b,c)是b,c的最大公因数，任何公因数都是小于最大公因数的，所以(a,b) ≤ (b,c).

　　　　同样的道理可以证明 (b,c) ≤(a,b).

            因此有(a,b) = (b,c)

辗转相除法：给任意整数 a > 0,b >0, 由带余除法，有以下等式

                    a = b*q₁ + r₁,     0 < r₁ < b,

                    b = r₁*q₂ + r₂,    0 < r₂ < r₁,

                    r₁ = r₂*q₃ + r₃,   0 < r₃ < r₂,

                    ......

                    r_n-2  =  r_n-1*q_n + r_n , 0< r_n <r_n-1

                    r_n-1  = r_n *q_n+1  + r_n+1  ,r_n+1 = 0

                   因为 b> r₁ > r₂ > r₃ >....，故经过有限次带余除法以后，总可以得到一个余数为0，上面r_n+1 = 0

                  由上面的定理1可以知道，(a,b) = (b,r₁) = (r₂,r₁) = ....= (r_n-2,r_n-1) = (r_n-1,r_n) = (r_n,0) = r_n

                  所以要想求a,b得最大公因数，就需要不断的使用带余除法，直到余数为0，就可以得到a,b的最大公因数.

举例：

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    使用辗转相除法求 288 和 158 的最大公因数

    288  = 158 * 1 + 130

    158  = 130 * 1 + 28

    130 =  28 * 4 + 18

    28 =18 * 1 + 10

    18 = 10 * 1 + 8

    10 = 8 * 1 + 2

    8 = 2 * 4

    所以(288,158) = (158,130) = (130,28) = (28,18)=(18,10)=(10,8)=(8,2)=(2,0)=2

python 实现：

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递归

def gcd(a,b):
    if b == 0 : return a
    return gcd(b,a % b)

迭代

def gcd(a,b):
    while b != 0:
        a,b = b,a%b
    return a