UVA11426 GCD - Extreme (II)

题目描述

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10

100

200000

0

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67

13015

143295493160

Solution

这道题我用莫比乌斯反演和欧拉函数都写了一遍,发现欧拉函数比莫比乌斯反演优秀?

求所有\(gcd=k\)的数对的个数,记作\(f[k],ans=\sum_{i=1}^{n}(f[i]-1)\),为什么还要-1,我们注意到\(j=i+1\),自己与自己是不算的,再乘上这个数的大小\(k\)就可以了

我们发现要求\(\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=i+1}^{n}{gcd(i,j)}\),我们令\(gcd(i,j)=k\),则必有\(gcd(a\times k,b\times k)=k\to gcd(a,b)=1\),我们枚举这两个数中大的那个,另一个数就有\(phi[i](1<=i <=n/k)\)个,所以\(f[n]=\sum_{i=1}^{n/k}\phi(i)\)

筛一下欧拉函数求前缀和就可以了

那么?莫比乌斯反演怎么写呢?

\(ans=\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=i+1}^{n}gcd(i,j)\)

\(ans=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}gcd(i,j)\)

我么观察这两个式子的区别,一个是从j从1开始,另一个是从i+1开始,这两个式子是具有几何意义的,上面的式子求得是一个三角形的答案(且不包括对角线),下面的是矩形.那么我们用下面的式子-对角线上的答案再除以2就是上面的答案了

(对角线上的答案就是\(gcd(i,i)=i\),所以一个等比数列求和就好了)

下面的式子很好反演,套路套路....

\[\sum_{d=1}^{n}d\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}[gcd(i,j)==d]
\]

\[\sum_{d=1}^{n}d\sum_{p=1,p|i,p|j}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\mu(p) \lfloor\frac{n}{d\times p}\rfloor\lfloor\frac{n}{d\times p}\rfloor
\]

线性筛莫比乌斯函数,然后套个整除分块就好了(还是没有第一种方法快,如果莫比乌斯反演有比博主还快的方法,请告知我)

Code1

#include<bits/stdc++.h>

#define lol long long

#define il inline

#define rg register

#define Min(a,b) (a)<(b)?(a):(b)

#define Max(a,b) (a)>(b)?(a):(b)

#define NN 4000000

using namespace std;

const int N=4e6+10;

int n,tot;

lol phi[N],prime[N];

bool vis[N];

il void init() {

    phi[1]=1;

    for(rg int i=2;i<=NN;i++) {

        if(!vis[i]) prime[++tot]=i,phi[i]=i-1;

        for(rg int j=1;j<=tot && i*prime[j]<=NN;j++) {

            vis[i*prime[j]]=1;

            if(i%prime[j]==0) {

                phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];

            }

            else phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);

        }

    }

    for(rg int i=1;i<=NN;i++) phi[i]+=phi[i-1];

}

int main()

{

    ios::sync_with_stdio(0);

    init();

    while(cin>>n) {

        lol ans=0;

        if(n==0) break;

        for(rg int i=1;i<=n;i++) ans+=1ll*(phi[n/i]-1)*i;

        cout<<ans<<endl;

    }

}

Code2

#include<bits/stdc++.h>

#define in(i) (i=read())

#define il extern inline

#define rg register

#define mid ((l+r)>>1)

#define ll(x) (x<<1)

#define rr(x) (x<<1|1)

#define Min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))

#define Max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))

#define lol __int128

using namespace std;

const lol N=4e6+10;

lol read() {

    lol ans=0, f=1; char i=getchar();

    while (i<'0' || i>'9') {if(i=='-') f=-1; i=getchar();}

    while (i>='0' && i<='9') ans=(ans<<1)+(ans<<3)+(i^48), i=getchar();

    return ans*f;

}

lol cnt;

lol vis[N]={0,1},prime[N],mu[N]={0,1};

void init() {

    for (lol i=2;i<=N-10;i++) {

        if(!vis[i]) prime[++cnt]=i,mu[i]=-1;

        for (lol j=1;j<=cnt && prime[j]*i<=N-10;j++) {

            vis[i*prime[j]]=1;

            if(i%prime[j]==0) break;

            mu[i*prime[j]]=-mu[i];

        }

    }for (lol i=1;i<=N-10;i++) mu[i]+=mu[i-1];

}

lol work(lol d,lol n,lol ans=0) {

    n/=d;

    for (lol l=1,r;l<=n;l=r+1) {

        r=n/(n/l);

        ans+=(mu[r]-mu[l-1])*(n/l)*(n/l);

    }return ans;

}

int main()

{

    long long ans,n; init();

    while(scanf("%lld",&n)==1 && n) {

        ans=0;

        for (lol i=1;i<=n;i++) ans+=i*work(i,n);

        printf("%lld\n",(ans-(n+1)*n/2)/2);

    }

    return 0;

}