Bridges: The Final Battle

对修改操作按时间分治，设$solve(l,r,n,m)$为考虑时间在$[l,r]$的修改操作，作用范围是$n$个点，$m$条边的图。

若$l=r$，则暴力Tarjan统计桥边个数即可。

否则提取出$[l,r]$内涉及修改的所有边$E$，并将端点标记为$V$，显然$|V|=O(|E|)$。

加入$m$条边里除了$E$之外的所有边，显然无论怎么修改，这些边都会存在。

Tarjan求出边双连通分量，将边双缩点，可以得到一个森林，那么非树边永远都不可能成为桥，直接删除即可。

还可以注意到的是，还未加入的边的端点只可能在$V$中，因此可以求出$V$的虚树，不在虚树上的边永远都是桥，加入答案并删除即可。

而在虚树上的边，每条压缩边都表示一条链，需要额外记录这条树边表示几条桥边$w$，当以后这条树边成为桥边时，答案应该直接加上$w$。

经过以上几步处理之后，$n$和$m$均缩为$O(|V|)=O(|E|)=O(r-l)$。

取$mid=\lfloor\frac{l+r}{2}\rfloor$，递归$solve(l,mid,n',m')$，然后暴力处理所有$[l,mid]$的修改，再递归$solve(mid+1,r,n',m')$即可。

时间复杂度$T(n)=2T(\frac{n}{2})+O(n)=O(n\log n)$。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<map>
using namespace std;
typedef pair<int,int>P;
const int N=100010,M=100010,K=19;
int n,m,i,ans[M];
bool use[M],ex[M],cut[M],vis[N];
int g[N],v[M<<1],w[M<<1],nxt[M<<1],ed,f[N],dfn[N],low[N],num,from[N];
int G[N],V[N<<1],W[N<<1],NXT[N<<1],ED,id[N],sum[N],vip[N];
int O,ce,all,pos[M],q[K][M];
map<P,int>T;
struct E{
  int x,y,w;
  E(){}
  E(int _x,int _y,int _w){x=_x,y=_y,w=_w;}
}e[K][M];
inline int ask(int x,int y){
  if(x==y)return 0;
  if(x>y)swap(x,y);
  int&t=T[P(x,y)];
  if(!t)e[0][t=++ce]=E(x,y,0);
  return t;
}
inline void add(int x,int y,int z){v[++ed]=y;w[ed]=z;nxt[ed]=g[x];g[x]=ed;}
inline void ADD(int x,int y,int z){V[++ED]=y;W[ED]=z;NXT[ED]=G[x];G[x]=ED;}
void tarjan(int x){
  dfn[x]=low[x]=++num;
  for(int i=g[x];i;i=nxt[i])if(!dfn[v[i]]){
    f[v[i]]=w[i],tarjan(v[i]);
    if(low[x]>low[v[i]])low[x]=low[v[i]];
  }else if(f[x]!=w[i]&&low[x]>dfn[v[i]])low[x]=dfn[v[i]];
  if(f[x]&&low[x]==dfn[x])cut[f[x]]=1;
}
void dfs(int x,int y){
  from[x]=y;
  for(int i=g[x];i;i=nxt[i])if(!from[v[i]]&&!cut[w[i]])dfs(v[i],y);
}
inline void newedge(int x,int y,int w){all-=w;e[O][++ce]=E(x,y,w);}
void compress(int x,int y){
  int d=0;
  vis[x]=1;
  for(int i=G[x];i;i=NXT[i]){
    int u=V[i];
    if(u==y)continue;
    sum[u]=sum[x]+W[i];
    compress(u,x);
    if(!id[u])continue;
    d++;
    id[x]^=id[u];
  }
  if(d>1)vip[x]=1;
  if(vip[x]){
    for(int i=G[x];i;i=NXT[i]){
      int u=V[i];
      if(u==y)continue;
      int t=id[u];
      if(t)newedge(x,t,sum[t]-sum[x]);
    }
    id[x]=x;
  }
}
void solve(int o,int l,int r,int n,int m,int pre){
  O=o+1;
  int i;
  if(l==r){
    for(i=1;i<=m;i++)cut[i]=0;
    for(ed=0,i=1;i<=n;i++)g[i]=f[i]=dfn[i]=low[i]=from[i]=0;
    num=0;
    e[o][q[o][l]].w^=1;
    for(i=1;i<=m;i++)if(e[o][i].w){
      int x=e[o][i].x,y=e[o][i].y;
      add(x,y,i),add(y,x,i);
    }
    for(i=1;i<=n;i++)if(!dfn[i])tarjan(i);
    for(i=1;i<=m;i++)if(cut[i])pre+=e[o][i].w;
    e[o][q[o][l]].w^=1;
    ans[l]=pre;
    return;
  }
  for(i=1;i<=m;i++)use[i]=cut[i]=pos[i]=0;
  for(ed=0,i=1;i<=n;i++)g[i]=f[i]=dfn[i]=low[i]=from[i]=0;
  num=0;
  int cnt=0;
  for(i=l;i<=r;i++)use[q[o][i]]=1;
  for(i=1;i<=m;i++)if(!use[i]&&e[o][i].w){
    int x=e[o][i].x,y=e[o][i].y;
    add(x,y,i),add(y,x,i);
  }
  for(i=1;i<=n;i++)if(!dfn[i])tarjan(i);
  for(i=1;i<=n;i++)if(!from[i])dfs(i,++cnt);
  for(ED=0,i=1;i<=cnt;i++)vis[i]=vip[i]=G[i]=id[i]=sum[i]=0;
  ce=all=0;
  for(i=1;i<=m;i++)if(!use[i]&&e[o][i].w){
    int x=e[o][i].x,y=e[o][i].y;
    x=from[x],y=from[y];
    if(x==y)continue;
    ADD(x,y,e[o][i].w),ADD(y,x,e[o][i].w);
    all+=e[o][i].w;
  }
  for(i=l;i<=r;i++){
    int t=q[o][i];
    if(!t)continue;
    vip[from[e[o][t].x]]=vip[from[e[o][t].y]]=1;
  }
  for(i=1;i<=cnt;i++)if(vip[i]&&!vis[i])compress(i,0);
  int mid=(l+r)>>1,_ce=ce,cv=0;
  for(i=1;i<=cnt;i++)if(vip[i])vip[i]=++cv;
  pre+=all;
  for(i=1;i<=ce;i++)e[o+1][i].x=vip[e[o+1][i].x],e[o+1][i].y=vip[e[o+1][i].y];
  for(i=1;i<=m;i++)if(use[i]){
    int x=e[o][i].x,y=e[o][i].y;
    e[o+1][++ce]=E(vip[from[x]],vip[from[y]],e[o][i].w);
    pos[i]=ce;
  }
  for(i=l;i<=r;i++)q[o+1][i]=pos[q[o][i]];
  solve(o+1,l,mid,cv,ce,pre);
  ce=_ce;
  for(i=1;i<=m;i++)use[i]=0;
  for(i=l;i<=r;i++)use[q[o][i]]=1;
  for(i=1;i<=m;i++)if(use[i])ex[i]=e[o][i].w;
  for(i=l;i<=mid;i++)ex[q[o][i]]^=1;
  for(i=1;i<=m;i++)if(use[i])e[o+1][++ce].w=ex[i];
  solve(o+1,mid+1,r,cv,ce,pre);
}
int main(){
  freopen("bridges3.in","r",stdin);freopen("bridges3.out","w",stdout);
  scanf("%d%d",&n,&m);
  for(i=1;i<=m;i++){
    char s[9];
    int x,y;
    scanf("%s%d%d",s,&x,&y);
    q[0][i]=ask(x,y);
  }
  solve(0,1,m,n,ce,0);
  for(i=1;i<=m;i++)printf("%d\n",ans[i]);
}