最近公共祖先 LCA 倍增算法
LCA指的是最近公共祖先(Least Common Ancestors),如下图所示:

4和5的LCA就是2
那怎么求呢?最粗暴的方法就是先dfs一次,处理出每个点的深度

然后把深度更深的那一个点(4)一个点地一个点地往上跳,直到到某个点(3)和另外那个点(5)的深度一样
然后两个点一起一个点地一个点地往上跳,直到到某个点(就是最近公共祖先)两个点“变”成了一个点

不过有没有发现一个点地一个点地跳很浪费时间?
如果一下子跳到目标点内存又可能不支持,相对来说倍增的性价比算是很高的
倍增的话就是一次跳2i 个点,不难发现深度差为x时,深度更深的那个点就需要跳x个点,于是可以写出这段代码
if(depth[a] < depth[b]) swap(a, b);
int c = depth[a] - depth[b];
for(int i = 0; i <= 14; i++){
if(c & (1 << i)){
a = up[a][i];
}
}
接下来很快就会发现一个很严重的问题:两个点按照这样跳,不能保证一定是最近的。所以倍增找lca的方法是这样的:从最大可以跳的步数开始跳(一定是2i),如果跳的到的位置一样,就不跳,如果不一样才跳,每次跳的路程是前一次的一半

过程大概就像上图所示,但是执行完了这一段到的点不是最近公共祖先,但是,它们再往上跳一格,就到了
把这一段写成代码,就成了这样:
for(int i = 14; i >= 0; i--){
if(up[a][i] != up[b][i]){
a = up[a][i];
b = up[b][i];
}
}
前面还需要加上一句特判(当a和b在同一边时,深度浅的那个点就是最近公共祖先) if(a == b) return a;
好了,会求lca了,关键是怎么构造倍增数组。没有疑问的是向上跳一格就是自己的父节点
f[i][0] = fa[i];
这个是初值,接着可以根据这个推出来其他的,除此之外还要附上初值0,不然有可能会RE
f[i][j] = f[f[i][j - 1]][j - 1];
就是把这一段路,分成两段已经知道的
完整代码就是这样的:
Matrix<int> up;
inline void init_bz(){
up = Matrix<int>(16, n + 1);
memset(up.p, 0, sizeof(int) * 16 * (n + 1));
for(int i = 1; i <= n; i++){
up[i][0] = fa[i];
}
for(int j = 1; j <= 14; j++){
for(int i = 1; i <= n; i++){
up[i][j] = up[up[i][j - 1]][j - 1];
}
}
}
注意倍增求LCA适用于询问多的情况,不然光在预处理上花的时间就已经够多了。
二,源代码展示
倍增算法可以在线求树上两个点的LCA,时间复杂度为nlogn
预处理:通过dfs遍历,记录每个节点到根节点的距离dist[u],深度d[u]
init()求出树上每个节点u的2^i祖先p[u][i]
求最近公共祖先,根据两个节点的的深度,如不同,向上调整深度大的节点,使得两个节点在同一层上,如果正好是祖先结束,否则,将连个节点同时上移,查询最近公共祖先。
1. DFS预处理出所有节点的深度和父节点
版本1
void dfs(int u){
for(int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next){
int to=edge[i].to;
if(to==p[u][0])continue;
d[to]=d[u]+1;
dist[to]=dist[u]+edge[i].w;
p[to][0]=u; //p[i][0]存i的父节点
dfs(to);
}
}
版本2
inline void dfs(int u)
{
int i;
for(i=head[u];i!=-1;i=next[i])
{
if (!deep[to[i]])
{
deep[to[i]] = deep[u]+1;
p[to[i]][0] = u; //p[x][0]保存x的父节点为u;
dfs(to[i]);
}
}
}
2. 初始各个点的2^j祖先是谁 ,其中 2^j (j =0...log(该点深度))倍祖先,1倍祖先就是父亲,2倍祖先是父亲的父亲......。i的2^j祖先就是i的(2^(j-1))祖先的2^(j-1)祖先:
void init(){
for(int j=1 ; (1<<j)<=n ; j++) {
for(int i=1;i<=n;i++) {
p[i][j]=p[p[i][j-1]][j-1];
}
}
}
版本2
void init()
{
int i,j;
//p[i][j]表示i结点的第2^j祖先
for(j=1;(1<<j)<=n;j++)
for(i=1;i<=n;i++)
if(p[i][j-1]!=-1)
p[i][j]=p[p[i][j-1]][j-1];//i的第2^j祖先就是i的第2^(j-1)祖先的第2^(j-1)祖先
}
3.从深度大的节点上升至深度小的节点同层,如果此时两节点相同直接返回此节点,即lca。否则,利用倍增法找到最小深度的 p[a][j]!=p[b][j],此时他们的父亲p[a][0]即lca。
版本1:
int lca(int a,int b){
if(d[a]>d[b])swap(a,b); //b在下面
int f=d[b]-d[a]; //f是高度差
for(int i=0;(1<<i)<=f;i++){ //(1<<i)&f找到f化为2进制后1的位置,移动到相应的位置
if((1<<i)&f) b=p[b][i]; //比如f=5(101),先移动2^0祖先,然后再移动2^2祖先
}
if(a!=b){
for(int i=(int)log2(N);i>=0;i--){
if(p[a][i]!=p[b][i]){ //从最大祖先开始,判断a,b祖先,是否相同
a=p[a][i]; b=p[b][i]; //如不相同,a b同时向上移动2^j
}
}
a=p[a][0]; //这时a的father就是LCA
}
return a;
}
版本2
int lca(int a,int b)//最近公共祖先
{
int i,j;
if(deep[a]<deep[b])swap(a,b);
for(i=0;(1<<i)<=deep[a];i++);
i--;
//使a,b两点的深度相同
for(j=i;j>=0;j--)
if(deep[a]-(1<<j)>=deep[b])
a=p[a][j];
if(a==b)return a;
//倍增法,每次向上进深度2^j,找到最近公共祖先的子结点
for(j=i;j>=0;j--)
{
if(p[a][j]!=-1&&p[a][j]!=p[b][j])
{
a=p[a][j];
b=p[b][j];
}
}
return p[a][0];
}
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