POJ1639 Picnic Planning （限制入度最小生成树）

节点1是有度数限制的，把节点1去掉，就会形成若干个连通块，在每个连通块内部求最小生成树（prim算法实现），并求出每个连通块与1相连的最短的边，这样形成了初始状态的生成树。

假设（1，x）这条边没在生成树中，如果在生成树中从1到x的路径中的最大边权大于（1，x），考虑加上（1，x），去掉这条最大边权的边，答案就更加优秀了，若干次重复这样的操作，直到达到度数限制，就可以得到最优解。

记录最大边权的思路基于DP，回溯打标记。

完成一次拓展后，加入了（1，x）这条边，修改x的f[ ],fx[ ],fy[ ]，给1打上标记，从x开始DP，因为只是修改了x所在的连通块，没有必要再从1遍历一次。（可以画图理解一下）。

  1 #include<bits/stdc++.h>
  2 using namespace std;
  3 int n,m,s,deg,ans;
  4 int a[32][32],d[32],conn[32];
  5 bool v[32],c[32];
  6 int tree[32][32];
  7 int ver[32],p;
  8 int f[32],fx[32],fy[32];//1-x的路径最大边权是f[x]，两个端点是fx[x],fy[x]
  9
 10 void read(){
 11     map<string,int> h;
 12     cin>>m;
 13     h["Park"]=1;n=1;
 14     memset(a,0x3f,sizeof(a));
 15     for(int i=1;i<=m;i++){
 16         int x,y,z;
 17         char sx[12],sy[12];
 18         scanf("%s%s%d",sx,sy,&z);
 19         if(!h[sx]) h[sx]=++n;
 20         if(!h[sy]) h[sy]=++n;
 21         x=h[sx],y=h[sy];
 22         a[x][y]=min(a[x][y],z);
 23         a[y][x]=min(a[y][x],z);
 24     }
 25     cin>>s;
 26 }
 27
 28 void prim(int root){
 29     d[root]=0;
 30     for(int i=1;i<=p;i++){
 31         int x=0;
 32         for(int j=1;j<=p;j++)
 33             if(!v[ver[j]]&&(x==0||d[ver[j]]<d[x])) x=ver[j];
 34         v[x]=true;
 35         for(int j=1;j<=p;j++){
 36             int y=ver[j];
 37             if(!v[y]&&d[y]>a[x][y])
 38                 d[y]=a[x][y],conn[y]=x;
 39         }
 40     }//prim算法模板
 41     int closest=root;
 42     for(int i=1;i<=p;i++){
 43         int x=ver[i];
 44         if(x==root) continue;
 45         ans+=d[x];
 46         tree[conn[x]][x]=tree[x][conn[x]]=d[x];
 47         if(a[1][x]<a[1][closest]) closest=x;//记录连通块中和1相连最短的边
 48     }
 49     deg++;
 50     ans+=a[1][closest];
 51     tree[1][closest]=tree[closest][1]=a[1][closest];
 52 }
 53
 54 void dfs(int x){
 55     ver[++p]=x;
 56     c[x]=true;
 57     for(int y=2;y<=n;y++)
 58         if(a[x][y]!=0x3f3f3f3f&&!c[y]) dfs(y);
 59 }
 60
 61 void prim_for_all_comp(){
 62     memset(d,0x3f,sizeof(d));
 63     memset(v,0,sizeof(v));
 64     memset(tree,0x3f,sizeof(tree));
 65     c[1]=true;
 66     for(int i=2;i<=n;i++){
 67         if(!c[i]){
 68             p=0;
 69             dfs(i);
 70             prim(i);
 71         }
 72     }
 73 }
 74
 75 void dp(int x){
 76     v[x]=true;
 77     for(int y=2;y<=n;y++){
 78         if(tree[x][y]!=0x3f3f3f3f&&!v[y]){
 79             if(f[x]>tree[x][y]){
 80                 f[y]=f[x];
 81                 fx[y]=fx[x],fy[y]=fy[x];
 82             }else{
 83                 f[y]=tree[x][y];
 84                 fx[y]=x,fy[y]=y;
 85             }
 86             dp(y);
 87         }
 88     }
 89     v[x]=false;//回溯
 90 }
 91
 92 bool solve(){
 93     int min_val=1<<30,mini;
 94     for(int i=2;i<=n;i++){//枚举从1出发的非树边(1,i),看加哪一条
 95         if(tree[1][i]!=0x3f3f3f3f||a[1][i]==0x3f3f3f3f) continue;
 96         //加入非树边(1,i),删去树边(fx[i],fy[i])
 97         if(a[1][i]-tree[fx[i]][fy[i]]<min_val){
 98             min_val=a[1][i]-tree[fx[i]][fy[i]];
 99             mini=i;
100         }
101     }
102     if(min_val>=0) return false;
103     ans+=min_val;
104     tree[1][mini]=tree[mini][1]=a[1][mini];
105     tree[fx[mini]][fy[mini]]=tree[fy[mini]][fx[mini]]=0x3f3f3f3f;//删去原边，增加新边
106     f[mini]=a[1][mini];
107     fx[mini]=1,fy[mini]=mini;
108     v[1]=true;
109     dp(mini);//重新计算以mini为根的子树的dp状态
110     return true;
111 }
112
113 int main(){
114     read();
115     prim_for_all_comp();
116     memset(v,0,sizeof(v));
117     dp(1);
118     while(deg<s){
119         if(!solve()) break;
120         deg++;
121     }
122     printf("Total miles driven: ");
123     cout<<ans<<endl;
124 }