题解 P1999【覆盖墙壁】

数学题

令 \(A_n\) 为 \(2\times n\) 的墙壁放满块的方案数，考虑递推。

显然 \(A_0=1\)，我们令对于 \(k<0\)，\(A_k=0\) .

放直线型的块非常好递推：

此时答案即为 \(A_{n-1}+A_{n-2}\) .

接下来考虑放 L 型块的：

显然，两个 L 型块可以并成长方形：

但是也可以通过摆几个横着的块再合并：

所以此时答案为 \(2(A_{n-3}+A_{n-4}+\cdots+A_0)\) .

把两个加起来，得到

\[\large\begin{aligned}A_n&=A_{n-1}+A_{n-2}+2\left(\sum_{i=0}^{n-3}F_i\right)\\&=A_{n-1}+A_{n-2}+\sum_{i=0}^{n-3}A_i+\sum_{i=0}^{n-3}A_i\\&=\sum_{i=0}^{n-1}A_i+\sum_{i=0}^{n-3}A_i&\end{aligned}
\]

如果直接暴力转移每次是 \(O(n)\) 的，总复杂度也就是 \(O(n^2)\) 的，显然会 tle。

注意到这是静态区间求和，所以考虑前缀和。令 \(S_i=\sum\limits_{j=0}^iA_j\)，递推式变为

\[\large A_n=S_{n-1}+S_{n-3}
\]

这个 \(S\) 可以在转移的时候递推求出来，这样就是 \(O(n)\) 的了，可以通过。

注意到这个式子里面很多 \(A_i\) 被反复加了，分别令 \(n=k\) 和 \(n=k+1\)，得：

\[\large\begin{aligned}A_k&=\sum_{i=0}^{k-1}A_i+\sum_{i=0}^{k-3}A_i\\&=A_{k-1}+A_{k-2}+2A_{k-3}+\sum_{i=0}^{k-4}A_i\end{aligned}
\]

\[\large\begin{aligned}A_{k-4}&=\sum_{i=0}^{k-2}A_i+\sum_{i=0}^{k-4}A_i\\&=A_{k-2}+A_{k-3}+2\sum_{i=0}^{k-4}A_i\end{aligned}
\]

减一下，得到 \(A_k-A_{k-1}=A_{k-1}+A_{k-3}\)，即 \(A_k=2A_{k-1}+A_{k-3}\) .

用这个式子递推即可。