Note -「因数的欧拉函数求和」

归档。

试证明：\(\sum \limits _{d | x} \varphi (d) = x\)

Lemma 1.

试证明：\(\sum \limits _{d | p^k} \varphi (d) = p ^k\)，其中 \(p\) 为质数。

证明：显然，和 \(n\) 不互质的数一定含有 \(p\) 因子，而在 \([1, n]\) 中总共有 \(\lfloor \frac {n} {p} \rfloor = p ^{k - 1}\) 个含 \(p\) 因子的数，故可知 \(\varphi (p^k) = (p^k - p^{k - 1}), k > 0\)。特殊的，\(\varphi (1) = 1\)。

然后转化原式可得 \(\sum \limits _{i = 0} ^{k} \varphi (p ^i) = 1 + (p^1 - p^0) + (p^2 - p^1) + \dots + (p^k - p^{k - 1}) = p ^k\)。得证。

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Lemma 2.

试证明：记 \(f (x) = \sum \limits _{d | x} \varphi (d)\)，若 \(\gcd (m, n) = 1\)，则 \(f(m n) = f(m)f(n)\)。即 \(f(n)\) 为积性函数。

证明：记 \(\mathbb{M'}\) 为 \(m\) 的因数集合，\(\mathbb{N'}\) 为 \(n\) 的因数集合。记两个集合大小分别为 \(a, b\)。

因为 \(m, n\) 互质，故 \(\mathbb{M'}\) 与 \(\mathbb{N'}\) 中没有相同元素，则 \(mn\) 的因数集合为 \(\{x y | x \in \mathbb{M'}, y \in \mathbb{N'}\}\)。

故：

\[\begin {align}
f(mn) &= \varphi (x_1y_1) + \varphi (x_1y_2) + \dots + \varphi (x_{a}y_{1}) + \dots + \varphi (x_{a}y_{b})
\\
&= \sum _{i = 1} ^{a} \varphi (x_i) \times \sum _{j = 1} ^{b} \varphi (y_j)
\\
&= f(m)f(n)
\end {align}
\]

得证。

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Prove.

将 \(n\) 质因数分解为 \(p_1 ^{k_1} p_2 ^{k_2} \dots p_m ^{k_m}\)。显然可由引理 1 知 \(f(p_i^{k_i}) = p_i ^{k_i}\)。

又因为 \(\gcd (p_i ^{k_i}, p_j ^{k_j}) = 1, i \neq j\)，由引理 2 可得 \(f(p_i^{k_i} p_j^{k_j}) = f(p_i ^{k_i}) f(p_j ^{k_j}) = p_i^{k_i} p_j^{k_j}\)。

推广之，即得 \(f(n) = n\)。