Codeforces Round #538 (Div. 2) F 欧拉函数 + 区间修改线段树

https://codeforces.com/contest/1114/problem/F

欧拉函数 + 区间更新线段树

题意

对一个序列(n<=4e5,a[i]<=300)两种操作:

1. 将a[l,r]的数字乘以x(x<=300)

2. 求\(\varphi(\prod_{i=l}^ra[i])\)对1e9+7取模

题解

欧拉函数性质

1. 假如\(p\)是一个质数,\(\varphi(p)=p-1\),\(\varphi(p^k)=p^{k-1}*(p-1)=p^k*\frac{p-1}{p}\)
2. 假如p,q互质,\(\varphi(p*q)=\varphi(p)*\varphi(q)\)
3. 对于一个正整数n,\(\varphi(n)=n*\frac{p_1-1}{p_1}*...*\frac{p_n-1}{p_n}\)

• 对于每个数分开维护\(n\)和\(\frac{p_1-1}{p_1}*...*\frac{p_n-1}{p_n}\),因为所有数只有300大,有62位素数,所以可以用位运算维护后半部分,剩下前半部分就是维护数的乘积

处理

• 开两个标记数组,ly[]维护乘积的延迟标记,st[]维护位运算的延迟标记
• 每次区间操作找到合适的区间就直接修改,需要向下递归前才向下推标记
• 预处理出x(x<=300)每个数的素因子bit[],可以在埃式筛的过程中处理
• 查询的时候,需要用两个信息用array<ll,2>,
  
  附上重载加号代码

array<ll,2> operator +(array<ll,2> a,array<ll,2> b){
    return {a[0]*b[0]%P,a[1]|b[1]};
}

代码(区间修改线段树板子)

#include<bits/stdc++.h>
#define P 1000000007
#define ls (o<<1)
#define rs (o<<1|1)
#define ll long long
#define M 1600000
using namespace std;
ll x[M],s[M],ly[M],st[M];
ll bit[305],pr[305],inv[305];
int vi[305];
ll a[400005],tp,X,cnt,i;
int n,q,l,r;
char S[20];
array<ll,2>ans;
array<ll,2> operator +(array<ll,2> a,array<ll,2> b){
    return {a[0]*b[0]%P,a[1]|b[1]};
}
ll pw(ll bs,ll x){
	ll ans=1;while(x){if(x&1)ans=ans*bs%P;bs=bs*bs%P;x>>=1;}
	return ans;
}
void push_up(int o){                     //st数组和ly数组同理,作用为标记每次改变量
    x[o]=x[ls]*x[rs]%P;
    s[o]=s[ls]|s[rs];
    ly[o]=1;
    st[o]=0;
}
void push_down(int o,int l,int r){        //更新子节点信息,将本节点标记去掉
    int mid=(l+r)/2;
    if(ly[o]>1){
        ly[ls]=ly[ls]*ly[o]%P;
        ly[rs]=ly[rs]*ly[o]%P;
        s[ls]=s[ls]|st[o];
        st[ls]=st[ls]|st[o];
        s[rs]=s[rs]|st[o];
        st[rs]=st[rs]|st[o];
        x[ls]=x[ls]*pw(ly[o],mid-l+1)%P;
        x[rs]=x[rs]*pw(ly[o],r-mid)%P;
        ly[o]=1;
        st[o]=0;
    }
}

void build(int o,int l,int r){
	if(l==r){
		ly[o]=x[o]=a[l];
        st[o]=s[o]=bit[a[l]];
		return;
	}
	int mid=(l+r)/2;
	build(ls,l,mid);build(rs,mid+1,r);
	push_up(o);
}

array<ll,2> qy(int o,int l,int r,int L,int R){
    int mid=(l+r)/2;
	array<ll,2>ans={1,0};
    if(L<=l&&r<=R){
        return {x[o],s[o]};
    }
    push_down(o,l,r);
    if(L<=mid)ans=ans+qy(ls,l,mid,L,R);
    if(R>mid)ans=ans+qy(rs,mid+1,r,L,R);
    return ans;
}

void ud(int o,int l,int r,int L,int R,ll X){
    int mid=(l+r)/2;

    //if(l!=r)push_down(o,l,r);      //1.先要将上次的信息传下去不然就会清空了2.并且要特判是不是最后一层
    if(L<=l&&r<=R){
        ly[o]=X*ly[o]%P;x[o]=x[o]*pw(X,r-l+1)%P;
        st[o]|=bit[X];s[o]|=bit[X];
        return;
    }
	push_down(o,l,r);                //只要不向下搜就不向下推
    if(L<=mid)ud(ls,l,mid,L,R,X);
    if(R>mid)ud(rs,mid+1,r,L,R,X);
    push_up(o);                      //更新了才需要向上推
}

void init(){
    for(int i=2;i<301;i++){
        if(!vi[i]){
            pr[++cnt]=i;
            inv[cnt]=pw(i,P-2);
            for(int j=i;j<301;j+=i){
                vi[j]=1;bit[j]|=(1ll<<cnt);
            }
        }
    }
}

int main(){
    init();
	cin>>n>>q;
	for(i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",&a[i]);
	build(1,1,n);
	while(q--){
		scanf("%s",S);
		if(S[0]=='M'){
			scanf("%d%d%lld",&l,&r,&X);
			ud(1,1,n,l,r,X);
		}else{
			scanf("%d%d",&l,&r);
            ans=qy(1,1,n,l,r);
            tp=ans[0]%P;
            for(i=1;i<63;i++){
                if((ans[1]>>i)&1)tp=tp*(pr[i]-1)%P*inv[i]%P;
            }
            printf("%lld\n",tp);
		}
	}
}