多边形裁剪的Sutherland-Hodgman算法
多边形裁剪是渲染管线中重要的一个子阶段,它将视截体外的多边形去除。一种简单的裁剪策略是一旦发现一个顶点在裁剪区域以外,就立刻丢弃该多边形。更加精细的做法则是,将原来的多边形拆为多个不跨越边界的多边形,仅丢弃在区域外的,譬如:
矩形裁剪三角形ABC示例
上图中,输入的△ABC被分为△DGE、△DFG、△ADE、□CFGB,△DGE、△DFG被作为输出保留。
一、最简单的情境
先考虑一个简单的情境:用裁剪给定的三角形,其
轴左边的部分都被去掉(仅保留横坐标不小于0的部分)。我们将问题分为四种简单的情况,如图:
用裁剪一个三角形的四种基本情况
对有0个顶点和有3个顶点在裁剪区域外的情况(第一种和最后一种),只需要简单地将三角形接受或丢弃即可。对有1个顶点在区域外的情况,只需要求出AB、AC和的交点D、E,再输出△DBC和△DEC即可,如下图:
第二种情况处理方法示意图
当有两个顶点在区域外时,处理方法更加简单:假设△ABC中顶点C在区域内,A、B在区域外,那么只需求出AC和BC和的交点D和E,再输出△DEC即可。
至此,已经得到了一个有些“偷懒”的算法,那就是将“用裁剪三角形,然后将图形绕
逆时针旋转
”重复四次,这样就可以得到用正方形
裁剪三角形的结果。这个循环可以被展开优化,即手动完成分别用四条直线(
)裁剪三角形的工作。算法伪代码如下——
CLIP_BY_X>=0(Triangle tri) out_num = is_a_out + is_b_out + is_c_out switch(out_num) case 0 //所有顶点都在区域内,可直接返回原三角形 return { tri } case 1 //有一个顶点在区域外 //把在区域外的顶点交换到A的位置上 if(is_b_out) swap(tri.A, tri.B) else if(is_c_out) swap(tri.A, tri.C) //求交点D、E D = INTERSECT(tri.A, tri.B, x=0) E = INTERSECT(tri.A, tri.C, x=0) return { Triangle(D, tri.B, tri.C), Triangle(D, E, tri.C) } case 2 //有两个顶点在区域外 //把在区域内的顶点交换到A的位置上 if(!is_b_out) swap(tri.A, tri.B) else if(!is_c_out) swap(tri.A, tri.C) //求交点D, E D = INTERSECT(tri.A, tri.B, x=0) E = INTERSECT(tri.A, tri.C, x=0) return { Triangle(tri.A, D, E) } //所有的顶点都在区域外,直接丢弃 return { } CLIP_BY_SQUARE(Triangle tri) TriangleSet src = { tri }, dst for i = 0 to 3 //重复四次,分别对应四条边 for each triangle t in src dst = UNION(dst, CLIP_BY_X>=0(t)) for each triangle t in dst t = ROTATE_TRIANGLE((0.5, 0.5), pi / 2, t) src = dst dst = { } return src
上面的方法很容易推广到更广泛的应用情景(比方说,借助比简单的”旋转”更强大的变换),不过当前的方法已经能满足图形渲染管线的需求了。
二、Sutherland-Hodgman多边形裁剪算法
Ivan E. Sutherland和Gary W. Hodgman在1974年提出了一种多边形裁剪算法(Sutherland-Hodgman算法[1]),且裁剪区域可以是任意的凸多边形,下面对其作简要介绍。
Sutherland-Hodgman仍然逐直线/逐平面地对多边形进行裁剪,这和(一)中的思想是一致的,如下图:
Sutherland-Hodgman算法执行示例(图片来自[1])
算法要求多边形被表示为顶点序列的形式,表示由边
构成的多边形(凹凸皆可),输出为顶点序列
,其解释方式和输入相同。先看一个简单的例子:
输入序列为,直线及其下方为裁剪区域的内侧,这表明另一侧——外侧的多边形应该被裁剪掉。首先得到顶点
和
,注意到这两个顶点一个在内一个在外,于是求出
和分界线的交点,并把
作为
输出,把交点作为
输出。
现在考虑和
,这两个顶点都在外侧,因此被直接忽略。然后是
和
,我们又得到了一个交点,输出为
。最后是
以及
,它们都在内侧,因此把顶点
输出为
和
。这样,就完成了裁剪工作。
回顾一下刚才的流程,我们从开始,逐条边地进行判断,直到
和
。对这一过程中遇到的每一条边
,有以下四种可能的情况:
1. 都在内侧,则把
作为下一个输出的顶点;
2. 在内侧,
在外侧,则先输出
,再输出
和分界线的交点;
3. 都在外侧,则跳过这条边;
4. 在外侧,
在内侧,则输出
和分界线的交点。
这样,就得到了用一条直线裁剪任意多边形的方法。用许多条这样的直线构造出裁剪区域,这就是完整的Sutherland-Hodgman裁剪。
三、Edge function:判断点在直线的哪一侧
Juan Pineda在1988年提出的edge function[2]原本被用于光栅化,在这里也可以用它来判断“内侧”和“外侧”。Edge function如下:
Edge function变量示意图(来自[2])
其中是要判断的点的坐标,
是直线上的某个点,
给出了直线的方向。
为正意味着点
在直线的左/上侧,为负意味着在右/下侧,为零则正好在直线上。该性质可以通过把
看做向量
和向量
的内积来证明,在此不多赘述。
[1] Sutherland, I. E., & Hodgman, G. W. (1974). Reentrant polygon clipping.Communications of the ACM, 17(1), 32-42.
[2] Pineda, J. (1988, August). A parallel algorithm for polygon rasterization. InACM SIGGRAPH Computer Graphics (Vol. 22, No. 4, pp. 17-20). ACM.
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