多边形裁剪的Sutherland-Hodgman算法

　　多边形裁剪是渲染管线中重要的一个子阶段，它将视截体外的多边形去除。一种简单的裁剪策略是一旦发现一个顶点在裁剪区域以外，就立刻丢弃该多边形。更加精细的做法则是，将原来的多边形拆为多个不跨越边界的多边形，仅丢弃在区域外的，譬如：

矩形裁剪三角形ABC示例

　　上图中，输入的△ABC被分为△DGE、△DFG、△ADE、□CFGB，△DGE、△DFG被作为输出保留。

一、最简单的情境

　　先考虑一个简单的情境：用裁剪给定的三角形，其轴左边的部分都被去掉（仅保留横坐标不小于0的部分）。我们将问题分为四种简单的情况，如图：

用裁剪一个三角形的四种基本情况

　　对有0个顶点和有3个顶点在裁剪区域外的情况（第一种和最后一种），只需要简单地将三角形接受或丢弃即可。对有1个顶点在区域外的情况，只需要求出AB、AC和的交点D、E，再输出△DBC和△DEC即可，如下图：

第二种情况处理方法示意图

　　当有两个顶点在区域外时，处理方法更加简单：假设△ABC中顶点C在区域内，A、B在区域外，那么只需求出AC和BC和的交点D和E，再输出△DEC即可。

　　至此，已经得到了一个有些“偷懒”的算法，那就是将“用裁剪三角形，然后将图形绕逆时针旋转”重复四次，这样就可以得到用正方形裁剪三角形的结果。这个循环可以被展开优化，即手动完成分别用四条直线（）裁剪三角形的工作。算法伪代码如下——

CLIP_BY_X>=0(Triangle tri)
    out_num = is_a_out + is_b_out + is_c_out
    switch(out_num)
        case 0 //所有顶点都在区域内，可直接返回原三角形
            return { tri }
        case 1 //有一个顶点在区域外
            //把在区域外的顶点交换到A的位置上
            if(is_b_out) swap(tri.A, tri.B)
            else if(is_c_out) swap(tri.A, tri.C)
            //求交点D、E
            D = INTERSECT(tri.A, tri.B, x=0)
            E = INTERSECT(tri.A, tri.C, x=0)
            return { Triangle(D, tri.B, tri.C), Triangle(D, E, tri.C) }
        case 2 //有两个顶点在区域外
            //把在区域内的顶点交换到A的位置上
            if(!is_b_out) swap(tri.A, tri.B)
            else if(!is_c_out) swap(tri.A, tri.C)
            //求交点D, E
            D = INTERSECT(tri.A, tri.B, x=0)
            E = INTERSECT(tri.A, tri.C, x=0)
            return { Triangle(tri.A, D, E) }
    //所有的顶点都在区域外，直接丢弃
    return { }

CLIP_BY_SQUARE(Triangle tri)
    TriangleSet src = { tri }, dst
    for i = 0 to 3 //重复四次，分别对应四条边
        for each triangle t in src
            dst = UNION(dst, CLIP_BY_X>=0(t))
        for each triangle t in dst
            t = ROTATE_TRIANGLE((0.5, 0.5), pi / 2, t)
        src = dst
        dst = { }
    return src

　　上面的方法很容易推广到更广泛的应用情景（比方说，借助比简单的”旋转”更强大的变换），不过当前的方法已经能满足图形渲染管线的需求了。

二、Sutherland-Hodgman多边形裁剪算法

　　Ivan E. Sutherland和Gary W. Hodgman在1974年提出了一种多边形裁剪算法（Sutherland-Hodgman算法^[1]），且裁剪区域可以是任意的凸多边形，下面对其作简要介绍。

　　Sutherland-Hodgman仍然逐直线/逐平面地对多边形进行裁剪，这和（一）中的思想是一致的，如下图：

Sutherland-Hodgman算法执行示例（图片来自[1]）

　　算法要求多边形被表示为顶点序列的形式，表示由边构成的多边形（凹凸皆可），输出为顶点序列，其解释方式和输入相同。先看一个简单的例子：

　　输入序列为，直线及其下方为裁剪区域的内侧，这表明另一侧——外侧的多边形应该被裁剪掉。首先得到顶点和，注意到这两个顶点一个在内一个在外，于是求出和分界线的交点，并把作为输出，把交点作为输出。

　　现在考虑和，这两个顶点都在外侧，因此被直接忽略。然后是和，我们又得到了一个交点，输出为。最后是以及，它们都在内侧，因此把顶点输出为和。这样，就完成了裁剪工作。

　　回顾一下刚才的流程，我们从开始，逐条边地进行判断，直到和。对这一过程中遇到的每一条边，有以下四种可能的情况：

　　1.     都在内侧，则把作为下一个输出的顶点；

　　2.     在内侧，在外侧，则先输出，再输出和分界线的交点；

　　3.     都在外侧，则跳过这条边；

　　4.     在外侧，在内侧，则输出和分界线的交点。

　　这样，就得到了用一条直线裁剪任意多边形的方法。用许多条这样的直线构造出裁剪区域，这就是完整的Sutherland-Hodgman裁剪。

三、Edge function：判断点在直线的哪一侧

　　Juan Pineda在1988年提出的edge function^[2]原本被用于光栅化，在这里也可以用它来判断“内侧”和“外侧”。Edge function如下：

Edge function变量示意图（来自[2]）

　　其中是要判断的点的坐标，是直线上的某个点，给出了直线的方向。为正意味着点在直线的左/上侧，为负意味着在右/下侧，为零则正好在直线上。该性质可以通过把看做向量和向量的内积来证明，在此不多赘述。

[1] Sutherland, I. E., & Hodgman, G. W. (1974). Reentrant polygon clipping.Communications of the ACM, 17(1), 32-42.

[2] Pineda, J. (1988, August). A parallel algorithm for polygon rasterization. InACM SIGGRAPH Computer Graphics (Vol. 22, No. 4, pp. 17-20). ACM.