2.x ESL第二章习题2.4

题目

准备

• $x_i\sim N(0,1)$，有$\sum_i^n x_i^2 \sim \chi^2(n)$
  其中$n$称为自由度，卡方分布的均值即其自由度
• $x_i\sim N(\mu_i,\sigma_i^2)$，有$\sum_i a_ix_i \sim N(\sum_i a_i\mu_i,\sum_ia_i^2\sigma_i^2)$
  n个正态分布变量的线性和，依然符合正态分布
• 计算向量b投影到向量x上的长度t，$t=|b|cos\theta=|b|\frac{x^Tb}{|x||b|}=\frac{x^T}{|x|}b=a^Tb$
  所以a为单位向量$\sum_i a_i^2=1$

题解

$z=a^Tx$，$Var(z_i)=\sum_j a_j^2Var(x_j)=\sum_j a_j^2=1$
所以$z_i\sim N(0,1)$

距离的平方$d^2\sim \chi^2(p)$，所以平均距离为$\sqrt p$