洛谷P2566 [SCOI2009]围豆豆（状压dp+spfa）

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题解 Σ(っ °Д °;)っ

前置知识

射线法：从一点向右（其实哪边都行）水平引一条射线，若射线与路径的交点为偶数，则点不被包含，若为奇数，则被包含。（但注意存在射线与路径重合的情况）

这里是一篇专门介绍此法的博客：射线法

思路

（这次的博客有点粗糙，有空我再加点解释注释啥的）

数据很小，我们直接暴力之。但情况很多，一一枚举不现实，故状压之：以一个二进制串代表各个豆豆的获得情况（1即获得，0即不获得）。这就是我们的状态（即代码里的condition）。我们把所有（所有起点，所有状态）的状态答案都暴力出来，再根据题意找最优即可。

ps：不要吐槽我的变量名为啥这么长，我这也是为了尽量通俗易懂一点嘛。

代码：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<queue>
using namespace std;
const int maxn=11,maxm=1<<11;
#define ll long long
ll f[maxn][maxn][maxm],a[maxn],val[maxm];//val[i]中的i是状态
ll ans=-99999999;
bool vis[maxn][maxn][maxm];
int n,m,d,x[maxn],y[maxn],num[maxn][maxn];//x[],y[],分别储存了豆豆的坐标
int dx[5]={0,1,-1,0,0},dy[5]={0,0,0,1,-1};//第一位数dx[0],dy[0]是无意义的
struct node{
    int started,ended,condition;
    node();
    node(int x,int y,int z){
        started=x,ended=y,condition=z;
    }
};
int Change(int last_x,int last_y,int next_x,int next_y,int last_condition){
    int next_conditon=last_condition;//下一步状态由上一步转换而来
    for(int i=1;i<=d;i++){//枚举豆豆
        //判断是是否上下运动，为了避免上面所说的重合情况，只有上下运动我们才更新状态
        if(((last_x==x[i]&&next_x<x[i])||(last_x<x[i]&&next_x==x[i]))&&next_y>y[i])//我们走一步可能让一个豆豆进圈或者出圈
            next_conditon=next_conditon^(1<<(i-1));//把二进制的第i位（从右到左哦）取反
    }
    return next_conditon;
}
queue<node> q;
void Spfa(int fx,int fy){//我们找出每种状态下的最短路，再枚举判断最优答案
    memset(f,0x3f,sizeof(f));//和普通的spfa一样一样的
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    f[fx][fy][0]=0;
    q.push(node(fx,fy,0));
    while(!q.empty()){
        node t=q.front();q.pop();
        int u=t.started,v=t.ended,last_condition=t.condition;
        vis[u][v][last_condition]=0;
        for(int k=1;k<=4;k++){//向四周遍历
            int xx=u+dx[k],yy=v+dy[k];
            if(xx<=0||yy<=0||xx>n||yy>m||num[xx][yy]!=0) continue;//判断越不越界以及点能不能走
            int next_condition;
            next_condition=Change(u,v,xx,yy,last_condition);//更新状态
            if(f[u][v][last_condition]+1<f[xx][yy][next_condition]){//更新最短路
                f[xx][yy][next_condition]=f[u][v][last_condition]+1;
                if(vis[xx][yy][next_condition]==0){
                    vis[xx][yy][next_condition]=1;
                    q.push(node(xx,yy,next_condition));
                }
            }
        }
    }
    for(int i=0;i<(1<<d);i++){//枚举状态找最优答案
        ans=max(ans,val[i]-f[fx][fy][i]);
    }
}
int main(){
    cin>>n>>m>>d;
    for(int i=1;i<=d;i++){
        scanf("%lld",&a[i]);
    }
    char ch;
    for(int i=0;i<(1<<d);i++)//预处理出每种状态下的总价值val[i]（i是状态哦）
    for(int j=1;j<=d;j++)
        if(i&(1<<(j-1))) val[i]+=a[j];//如果状态中存在j号豆豆
    for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=m;j++)
    {
        scanf(" %c",&ch);
        if(ch=='#') num[i][j]=-1;
        else if(ch<='9'&&ch>='0'){
            x[ch-'0']=i,y[ch-'0']=j,num[i][j]=ch-'0';//num[i]存储每个点的数据
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=m;j++)
        if(!num[i][j]) Spfa(i,j);//因为要围豆豆，当然不能从豆豆出发，障碍物也不行
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}

还有一种更简单一点的写法：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<iostream>
using namespace std;
const int maxn=11,maxm=1001;
#define ll long long
int n,m,d,cross;
int dx[5]={0,1,-1,0,0},dy[5]={0,0,0,1,-1};//第一位数dx[0],dy[0]是无意义的
ll f[maxn][maxn][maxm],val[maxn],vis[maxn][maxn],in[maxn][maxn][maxm],x[maxn],y[maxn];
struct node{
    int started,ended,condition;//分别存储起点，终点，状态
    node();
    node(int x,int y,int z){
        started=x,ended=y,condition=z;
    }
};
queue<node> q;
ll now_condition,now_change,ans=0;
void Check(int fx,int fy){
    memset(f,0,sizeof(f));
    memset(in,0,sizeof(in));
    f[fx][fy][0]=0;
    q.push(node(fx,fy,0));
    while(!q.empty()){
        node t=q.front();q.pop();
        int u=t.started,v=t.ended,w=t.condition;
        for(int k=1;k<=4;k++){
            int xx=u+dx[k],yy=v+dy[k];
            if(xx<=0||yy<=0||xx>n||yy>m||vis[xx][yy]!=0) continue;
            now_condition=w;
            now_change=f[u][v][w]-1;
            if(k<=2){
                cross=min(xx,u);
                for(int i=1;i<=d;i++){
                    if(x[i]!=cross||y[i]>yy) continue;
                    if(now_condition>>(i-1)&1){
                        now_change-=val[i];
                        //cout<<now_condition<<endl;
                    }
                    else  now_change+=val[i];
                    now_condition=now_condition^(1<<(i-1));
                }
            }
            if(!in[xx][yy][now_condition]++) f[xx][yy][now_condition]=now_change,q.push(node(xx,yy,now_condition));
        }
    }
    for(int i=0;i<(1<<d);i++){
        if(in[fx][fy][i]) ans=max(ans,f[fx][fy][i]);
    }
}
int main(){
    cin>>n>>m>>d;
    for(int i=1;i<=d;i++){
        scanf("%lld",&val[i]);
    }
    char ch;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=m;j++)
    {
        scanf(" %c",&ch);
        if(ch=='#') vis[i][j]=-1;
        else if(ch<='9'&&ch>='0'){
            x[ch-'0']=i,y[ch-'0']=j,vis[i][j]=ch-'0';
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=m;j++)
        if(!vis[i][j]) Check(i,j);
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}