【XSY1262】【GDSOI2015】循环排插 斯特林数

题目描述

　　有一个\(n\)个元素的随机置换\(P\)，求\(P\)分解出的轮换个数的\(m\)次方的期望\(\times n!\)

　　\(n\leq 100000,m\leq 30\)

题解

解法一

　　有一种暴力的做法：设\(f_{i,j}\)为\(i\)个元素的随机置换\(P\)，分解出的轮换个数的\(j\)次方的期望\(\times i!\)

　　考虑第\(P_i\)是什么。

　　如果是\(i\)，那么就多了一个轮换，用二项式定理展开得到\(\sum_{k=0}^jf_{i-1,k}\binom{j}{k}\)。

　　如果不是\(i\)，那么可以看成把\(i\)插入到已有的轮换中，有\(i-1\)种方法，答案就是\((i-1)f_{i-1,j}\)

　　处理出组合数直接DP即可。

　　时间复杂度：\(O(nm^2)\)

解法二

　　考虑排列中轮换的个数为\(i\)的方案数，发现答案就是\(\begin{bmatrix}n\\i\end{bmatrix}\)。

　　推一波式子。

\[\begin{align}
ans&=\sum_{i=1}^n\begin{bmatrix}n\\i\end{bmatrix}i^m\\
&=\sum_{i=1}^n\begin{bmatrix}n\\i\end{bmatrix}\sum_{j=1}^m\begin{Bmatrix}m\\j\end{Bmatrix}\binom{i}{j}j!\\
&=\sum_{i=1}^m\begin{Bmatrix}m\\i\end{Bmatrix}i!\sum_{j=i}^n\begin{bmatrix}n\\j\end{bmatrix}\binom{j}{i}\\
&=\sum_{i=1}^m\begin{Bmatrix}m\\i\end{Bmatrix}\begin{bmatrix}n+1\\i+1\end{bmatrix}i!\\
\end{align}
\]

　　最后这个式子是有组合意义的。

　　你要把 \(n\) 个元素分成 \(j\) 个环，然后选 \(i\) 个环出来。这个的方案数等价于先组出 \(i\) 个环，然后把剩下的元素放到一起，把所有元素的后继看成一个排列，那么组出剩下 \(j-i\) 个环的方案数就是元素个数的阶乘，即加上一个物品后组成一个环的方案数。

　　处理出斯特林数直接计算。

　　时间复杂度：\(O(nm+m^2)\)

代码

解法一

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<utility>
#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> pii;
void open(const char *s)
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
	char str[100];
	sprintf(str,"%s.in",s);
	freopen(str,"r",stdin);
	sprintf(str,"%s.out",s);
	freopen(str,"w",stdout);
#endif
}
const ll p=1000000007;
ll f[100010][40];
ll fac[100010];
ll c[110][110];
int main()
{
	int n,k;
	scanf("%d%d",&n,&k);
	for(int i=0;i<=k;i++)
	{
		c[i][0]=1;
		for(int j=1;j<=i;j++)
			c[i][j]=(c[i-1][j-1]+c[i-1][j])%p;
	}
	fac[0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		fac[i]=fac[i-1]*i%p;
	f[0][0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=0;j<=k;j++)
			for(int k=0;k<=j;k++)
				f[i][j]=(f[i][j]+f[i-1][k]*c[j][k])%p;
		for(int j=0;j<=k;j++)
			f[i][j]=(f[i][j]+f[i-1][j]*(i-1))%p;
	}
	printf("%lld\n",f[n][k]);
	return 0;
}

解法二

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<utility>
#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> pii;
int rd()
{
	int s=0,c;
	while((c=getchar())<'0'||c>'9');
	s=c-'0';
	while((c=getchar())>='0'&&c<='9')
		s=s*10+c-'0';
	return s;
}
void open(const char *s)
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
	char str[100];
	sprintf(str,"%s.in",s);
	freopen(str,"r",stdin);
	sprintf(str,"%s.out",s);
	freopen(str,"w",stdout);
#endif
}
const int p=1000000007;
int s[100010][32];
int S[31][31];
int main()
{
	int n,m;
	n=rd();
	m=rd();
	s[0][0]=1;
	for(int i=1;i<=n+1;i++)
		for(int j=1;j<=m+1;j++)
			s[i][j]=(s[i-1][j-1]+ll(i-1)*s[i-1][j])%p;
	S[0][0]=1;
	for(int i=1;i<=m;i++)
		for(int j=1;j<=m;j++)
			S[i][j]=(S[i-1][j-1]+(ll)j*S[i-1][j])%p;
	int ans=0;
	int u=1;
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		u=(ll)u*i%p;
		ans=(ans+(ll)u*S[m][i]%p*s[n+1][i+1])%p;
	}
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}