CF1091E New Year and the Acquaintance Estimation

题目地址：CF1091E New Year and the Acquaintance Estimation

首先，易知 \(ans\) 的奇偶性与所有给出的数的和的奇偶性相同

其次，易证 \(ans\) 的取值为一段连续的奇偶性相同的数，因此只需要到一个上界和下界（或者判断出无解输出 \(-1\) ）

接下来的问题就是怎么判断一个状态合不合法以及如果不合法需要加还是减

题目中给出了一个Wiki的链接：Graph realization problem

链接中给出了问题的解法：Erdős–Gallai theorem

Erdős–Gallai定理的基本内容为：

一个非负整数序列 \(d_1≥d_2≥\cdots≥d_n\) 可以表示为 \(n\) 个顶点的简单图度序列，当且仅当 \(\sum_{i=1}^{n}\ d_i\) 为偶数且对每个 \(k\in [1,n]\) 满足

\[\sum_{i=1}^{k}\ d_i ≤ k(k-1)+\sum_{i=k+1}^{n}\ min(d_i,k)\]

对这个公式的理解 伪证 ： \(1\) ~ \(k\) 这 \(k\) 个点的度数和最大为——所有点之间两两连线产生的度数和，加上剩下每个点可连线数量的最大值，这保证了公式的必要性；而非严格单调递减则保证了公式的充分性

利用公式朴素判断一次需要 \(O(n^2)\) ，但是可以优化到 \(O(n)\) ，外层嵌套两个二分，这样可以在 \(O(n\ log\ n)\) 的时间复杂度内解决问题

上代码

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int N = 500006;
int n, a[N], c[N], cc[N], ansl = -1, ansr = -1;

int pd(int x) {
    memcpy(cc, c, sizeof(cc));
    ++cc[x];
    int w = 0, t = 0;
    ll s = 0, k = 0;
    for (int i = 0; i <= n; i++) {
        int num = (i == t && (t == n || a[t] < x)) ? x : a[t++];
        s += num;
        --cc[num];
        k += n - i - (w += cc[i]) - min(num, i);
        if (s > k + (ll)i * (i + 1)) return (i == t) ? 1 : -1;
    }
    return 0;
}

bool cmp(int x, int y) {
    return x > y;
}

int main() {
    cin >> n;
    ll s = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        scanf("%d", &a[i]);
        s += a[i];
        ++c[a[i]];
    }
    s &= 1;
    sort(a, a + n, cmp);
    int l = 0, r = (n - s) >> 1;
    while (l <= r) {
        int mid = (l + r) >> 1;
        if (pd((mid << 1) + s) == -1) l = mid + 1;
        else {
            ansl = mid;
            r = mid - 1;
        }
    }
    l = ansl;
    r = (n - s) >> 1;
    while (l <= r) {
        int mid = (l + r) >> 1;
        if (pd((mid << 1) + s) == 1) r = mid - 1;
        else {
            ansr = mid;
            l = mid + 1;
        }
    }
    if (ansl == -1 || ansr == -1) puts("-1");
    else for (int i = ansl; i <= ansr; i++)
            printf("%lld ", (i << 1) + s);
    return 0;
}

另外线段树也可以优化，这样时间复杂度会多一个 \(log\) ，对 \(500000\) 的数据来说有些吃力，就不码了