转Python SciPy库——拟合与插值

1.最小二乘拟合

实例1

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import leastsq

plt.figure(figsize=(9,9))
x=np.linspace(0,10,1000)
X = np.array([8.19, 2.72, 6.39, 8.71, 4.7, 2.66, 3.78])
Y = np.array([7.01, 2.78, 6.47, 6.71, 4.1, 4.23, 4.05])
#计算以p为参数的直线和原始数据之间的误差
def f(p):
    k, b = p
    return(Y-(k*X+b))
#leastsq使得f的输出数组的平方和最小，参数初始值为[1,0]
r = leastsq(f, [1,0])
k, b = r[0]
print("k=",k,"b=",b)

plt.scatter(X,Y, s=100, alpha=1.0, marker='o',label=u'数据点')

y=k*x+b

ax = plt.gca()  #gca获取轴这个对象

ax.set_xlabel(..., fontsize=20)
ax.set_ylabel(..., fontsize=20)
#设置坐标轴标签字体大小

plt.plot(x, y, color='r',linewidth=5, linestyle=":",markersize=20, label=u'拟合曲线')

plt.legend(loc=0, numpoints=1)
leg = plt.gca().get_legend()
ltext  = leg.get_texts()
plt.setp(ltext, fontsize='xx-large')

plt.xlabel(u'安培/A')
plt.ylabel(u'伏特/V')

plt.xlim(0, x.max() * 1.1)
plt.ylim(0, y.max() * 1.1)

plt.xticks(fontsize=20)
plt.yticks(fontsize=20)
#刻度字体大小

plt.legend(loc='upper left')

plt.show()

实例2

#最小二乘拟合实例
import numpy as np
from scipy.optimize import leastsq
import pylab as pl

def func(x, p):
    """
    数据拟合所用的函数: A*cos(2*pi*k*x + theta)
    """
    A, k, theta = p
    return A*np.sin(k*x+theta)   

def residuals(p, y, x):
    """
    实验数据x, y和拟合函数之间的差，p为拟合需要找到的系数
    """
    return y - func(x, p)

x = np.linspace(0, 20, 100)
A, k, theta = 10, 3, 6 # 真实数据的函数参数
y0 = func(x, [A, k, theta]) # 真实数据
y1 = y0 + 2 * np.random.randn(len(x)) # 加入噪声之后的实验数据    

p0 = [10, 0.2, 0] # 第一次猜测的函数拟合参数

# 调用leastsq进行数据拟合
# residuals为计算误差的函数
# p0为拟合参数的初始值
# args为需要拟合的实验数据
plsq = leastsq(residuals, p0, args=(y1, x))

print (u"真实参数:", [A, k, theta] )
print (u"拟合参数", plsq[0]) # 实验数据拟合后的参数

pl.plot(x, y0, color='r',label=u"真实数据")
pl.plot(x, y1, color='b',label=u"带噪声的实验数据")
pl.plot(x, func(x, plsq[0]), color='g', label=u"拟合数据")
pl.legend()
pl.show()

2. 插值

# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Created on Thu Jul 27 16:42:30 2017

@author: Dell
"""
import numpy as np
import pylab as pl
from scipy import interpolate
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(0, 2*np.pi+np.pi/4, 10)
y = np.sin(x)

x_new = np.linspace(0, 2*np.pi+np.pi/4, 100)
f_linear = interpolate.interp1d(x, y)
tck = interpolate.splrep(x, y)
y_bspline = interpolate.splev(x_new, tck)

plt.xlabel(u'安培/A')
plt.ylabel(u'伏特/V')

plt.plot(x, y, "o",  label=u"原始数据")
plt.plot(x_new, f_linear(x_new), label=u"线性插值")
plt.plot(x_new, y_bspline, label=u"B-spline插值")

pl.legend()
pl.show()

实例分析

# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Created on Thu Jul 27 16:53:21 2017

@author: Dell
"""

import numpy as np
from scipy import interpolate
import pylab as pl
#创建数据点集并绘制
pl.figure(figsize=(12,9))
x = np.linspace(0, 10, 11)
y = np.sin(x)
ax=pl.plot()

pl.plot(x,y,'ro')
#建立插值数据点
xnew = np.linspace(0, 10, 101)
for kind in ['nearest', 'zero','linear','quadratic']:
    #根据kind创建插值对象interp1d
    f = interpolate.interp1d(x, y, kind = kind)
    ynew = f(xnew)#计算插值结果
    pl.plot(xnew, ynew, label = str(kind))

pl.xticks(fontsize=20)
pl.yticks(fontsize=20)

pl.legend(loc = 'lower right')
pl.show()

B样条曲线插值
一维数据的插值运算可以通过 interp1d()实现。
其调用形式为：
Interp1d可以计算x的取值范围之内任意点的函数值，并返回新的数组。
interp1d(x, y, kind=‘linear’, …)
参数 x和y是一系列已知的数据点
参数kind是插值类型，可以是字符串或整数

B样条曲线插值
Kind给出了B样条曲线的阶数：
 ‘
zero‘ ‘nearest’ :0阶梯插值，相当于0阶B样条曲线
 ‘slinear’‘linear’ :线性插值，相当于1阶B样条曲线
 ‘quadratic’‘cubic’:2阶和3阶B样条曲线，更高阶的曲线可以直接使用整数值来指定

（1）#创建数据点集：

import numpy as np

x = np.linspace(0, 10, 11)

y = np.sin(x)

（2）#绘制数据点集：

import pylab as pl

pl.plot(x,y,'ro')

创建interp1d对象f、计算插值结果：
xnew = np.linspace(0, 10, 11)
from scipy import interpolate
f = interpolate.interp1d(x, y, kind = kind)
ynew = f(xnew)

根据kind类型创建interp1d对象f、计算并绘制插值结果：
xnew = np.linspace(0, 10, 11)
for kind in ['nearest', 'zero','linear','quadratic']:
#根据kind创建插值对象interp1d
f = interpolate.interp1d(x, y, kind = kind)
ynew = f(xnew)#计算插值结果
pl.plot(xnew, ynew, label = str(kind))#绘制插值结果

如果我们将代码稍作修改增加一个5阶插值

# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Created on Thu Jul 27 16:53:21 2017

@author: Dell
"""

import numpy as np
from scipy import interpolate
import pylab as pl
#创建数据点集并绘制
pl.figure(figsize=(12,9))
x = np.linspace(0, 10, 11)
y = np.sin(x)
ax=pl.plot()

pl.plot(x,y,'ro')
#建立插值数据点
xnew = np.linspace(0, 10, 101)
for kind in ['nearest', 'zero','linear','quadratic',5]:
    #根据kind创建插值对象interp1d
    f = interpolate.interp1d(x, y, kind = kind)
    ynew = f(xnew)#计算插值结果
    pl.plot(xnew, ynew, label = str(kind))

pl.xticks(fontsize=20)
pl.yticks(fontsize=20)

pl.legend(loc = 'lower right')
pl.show()
运行得到

发现5阶已经很接近正弦曲线，但是如果x值选取范围较大，则会出现跳跃。

关于拟合与插值的数学基础可参见霍开拓：拟合与插值的区别？

左边插值，右边拟合

仔细看有啥不一样

插值曲线要过数据点，拟合曲线整体效果更好。

插值，对准了才可以插吗，那就一定得过数据点。拟合，就是要得到最接近的结果，是要看总体效果。

既然理想(思路)不一样，那么三观和行为（特点和策略）也就不一样啦。

插值是指已知某函数的在若干离散点上的函数值或者导数信息，通过求解该函数中待定形式的插值函数以及待定系数，使得该函数在给定离散点上满足约束。

所谓拟合是指已知某函数的若干离散函数值{f1,f2,…,fn}，通过调整该函数中若干待定系数f(λ1, λ2,…,λn), 使得该函数与已知点集的差别(最小二乘意义)最小。如果待定函数是线性，就叫线性拟合或者线性回归(主要在统计中)，否则叫作非线性拟合或者非线性回归。表达式也可以是分段函数，这种情况下叫作样条拟合。
从几何意义上将，拟合是给定了空间中的一些点，找到一个已知形式未知参数的连续曲面来最大限度地逼近这些点；而插值是找到一个( 或几个分片光滑的)连续曲面来穿过这些点。

插值法

以下引自某科

Lagrange插值
Lagrange插值是n次多项式插值，其成功地用构造插值基函数的 方法解决了求n次多项式插值函数问题。
★基本思想　将待求的n次多项式插值函数pn(x）改写成另一种表示方式，再利用插值条件⑴确定其中的待定函数，从而求出插值多项式。
Newton插值
Newton插值也是n次多项式插值，它提出另一种构造插值多项式的方法，与Lagrange插值相比，具有承袭性和易于变动节点的特点。
★基本思想　将待求的n次插值多项式Pn（x）改写为具有承袭性的形式，然后利用插值条件⑴确定Pn（x）的待定系数，以求出所要的插值函数。
Hermite插值
Hermite插值是利用未知函数f(x)在插值节点上的函数值及导数值来构造插值多项式的，其提法为：给定n+1个互异的节点x0,x1，……,xn上的函数值和导数值求一个2n+1次多项式H2n+1(x)满足插值条件H2n+1(xk)=ykH'2n+1(xk)=y'k k=0,1,2，……，n ⒀如上求出的H2n+1(x）称为2n+1次Hermite插值函数，它与被插函数一般有更好的密合度.
★基本思想利用Lagrange插值函数的构造方法，先设定函数形式，再利用插值条件⒀求出插值函数.

貌似插值节点取的越多，差值曲线或曲面越接近原始曲线/曲面，因为采样多嘛。但事实总是不像广大人民群众想的那样，随着插值节点的增多，多项式次数也在增高，插值曲线在一些区域出现跳跃，并且越来越偏离原始曲线。这个现象被 Tolmé Runge 发现并解释，然后就以他的名字命名这种现象。It was discovered by Carl David Tolmé Runge (1901) when exploring the behavior of errors when using polynomial interpolation to approximate certain functions.

为了解决这个问题，人们发明了分段插值法。分段插值一般不会使用四次以上的多项式，而二次多项式会出现尖点，也是有问题的。所以就剩下线性和三次插值，最后使用最多的还是线性分段插值，这个好处是显而易见的。

拟合

最小二乘

如何找到最接近原始曲线或者数据点的拟合曲线，这不是一件容易操作的事。要想整体最接近，直接的想法就是拟合曲线的每一点到原始曲线的对应点的最接近，简单点说就是两曲线上所有点的函数值之差的绝对值之和最小。看似解决问题，但绝对值在数学上向来是个不好交流的语言障碍患者，那然后又该怎么办。数学家说了既然办不了你绝对值之和，那就办了你家亲戚，就看你平方之和长得像。于是就找了这个长得像的来背黑锅，大家都表示很和谐。然后给这种操作冠之名曰'最小二乘法'。

官方一点的表述 ， 选择参数c使得拟合模型与实际观测值在曲线拟合各点的残差(或离差)ek=yk－f(xk，c)的加权平方和达到最小，此时所求曲线称作在加权最小二乘意义下对数据的拟合曲线，这种方法叫做最小二乘法。

原文链接：https://zhuanlan.zhihu.com/p/28149195