平方根的C语言实现(二) —— 手算平方根的原理

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　　作者：窗户

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　　一个函数从数学上来说可以有无数个函数列收敛于这个函数，那么程序逼近实现来说可以有无数种算法，平方根自然也不例外。

　　不知道有多少人还记得手算平方根，那是满足每次在结果上添加一位，也就是按位逼近运算结果的唯一算法。至于数学上如何证明这个唯一性我就不说了，数学证明不会有那么多人有兴趣。按位逼近更加适合手算，举个大家更熟悉的例子，那就是手算除法。我这里就采用按位逼近的手算方法。

　　要说手算平方根，原理其实非常简单，

　　一是平方根函数是严格单调增函数，

　　二就是以下这个恒等式满足

　　(a*N+b)² ≡ (a*N)² + 2*a*b*N + b²

　　　　　　≡ (a*N)² + b * ((a*N) * 2 + b)

　　我们实例操作一次平方根笔算，来解释一下。

　　我们来求5499025的平方根。

　　先将5499025两位两位从低往高排，为

　　5 49 90 25

　　2*2<5<3*3

　　所以最高位为2，

　　然后我们再来看549的平方根，

　　我们假设549的平方根的整数部分是2*10+b，则根据之前的恒等式，N在这里等于10，a在这里等于2，有

　　549 >=(2*10)² + b * ((2*10) * 2 + b)

　　整理一下，149 >= b * (40 + b)

　　3 * 43 < 149 < 4 * 44

　　所以b=3，

　　549的平方根整数部分是23，

　　再假设54990的平方根整数部分为23*10+b,

　　则

　　54990 >= (23*10)² + b * ((23*10) * 2 + b)

　　整理一下，2090 >= b * (460 + b),

　　464 * 4  < 2090 < 465 * 5

　　所以b=4,

　　54990的平方根整数部分为234，

　　最后再来看5499025的平方根的整数部分，假设为234 * 10 + b,

　　则

　　5499025 >=  (234*10)² + b * ((234*10) * 2 + b)

　　整理一下， 23425 >= b * (4680 + b)

　　而5 * 4685 = 23425, 等式成立，

　　所以最终我们要求的平方根是2345。当然，小数位其实一样可以用这种方法继续算下去。

　　手算平方根就是如上这样从高位一步步往地位推的过程，写成式子的形式大致如下：

　　 2    3     4     5

　　-------------------

　  | 5   49   90   25

2 | 4

　　-------------------

| 1  49

43 | 1  29　　　　　　——当前算出了2，2*10*2 = 40

-------------------

|  20   90

464 |  18   56　　　　——当前算出了23，23*10*2 = 460

-------------------

|  2   34   25

4685  |  2   34   25　　——当前算出了234，234*10*2 = 4680

-------------------

0

　　当然，如何写不重要，知道过程便可以继续我们的这个设计。接下去我们要去利用之前的这个算法，改装一下，来进行二进制的开平方。

　　二进制的每一位不是1就是0，这样在每次往前推一位的时候就相对简单。

　　举个例子，我们来算121的平方根，也就是二进制下1111001的平方根。

　　两位两位从低位往高位排

1   0    1     1

　　------------------

| 1  11  10  01

1 | 1

　　------------------

　　  | 11

100 |   0                  ——当前上面算出了1，1右移动两位为100

　　------------------

　　  | 11  10

1001 | 10  01           ——当前上面算出了10，1右移动两位为1000

　　------------------

| 1 01  01

10101 | 1 01 01     ——当前上面算出了101，1右移动两位为10100

　　------------------

0

每往右边推1位，下面的除数就是上面当前算出来的二进制的数右移两位再加1或者加0

之后，我们就可以用构建利用此算法的平方根了。