[HDU2604]Queuing

题目：Queuing

链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2604

分析：

1）将当前格和上一格合并当作一个状态，考虑下一个格子放0(m)还是1(f).

构造转移矩阵

$\left[ \begin{array}{ccccc} . & 00 & 01 & 10 & 11 \\ 00 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 01 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 10 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 11 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right] $

2)假设第一格前还有两格，为00。

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
using namespace std;
typedef long long LL;
int MOD;
struct Matrix{
    LL a[][];
    void init(int f){
        memset(a,,sizeof a);
        if(f==-)return;
        for(int i=;i<;++i)a[i][i]=;
    }
};
Matrix operator*(Matrix& A,Matrix& B){
    Matrix C;C.init(-);
    for(int i=;i<;++i)
    for(int j=;j<;++j)
        for(int k=;k<;++k){
            C.a[i][j]+=A.a[i][k]*B.a[k][j];
            C.a[i][j]%=MOD;
        }
    return C;
}
Matrix operator^(Matrix A,int n){
    Matrix Rt;Rt.init();
    for(;n;n>>=){
        if(n&)Rt=Rt*A;
        A=A*A;
    }
    return Rt;
}
int main(){
    int n;
    Matrix A,T;
    T.a[][]=T.a[][]=;T.a[][]=T.a[][]=;
    T.a[][]=T.a[][]=;T.a[][]=T.a[][]=;
    T.a[][]=;T.a[][]=T.a[][]=T.a[][]=;
    T.a[][]=T.a[][]=;T.a[][]=;T.a[][]=;
    for(;~scanf("%d%d",&n,&MOD);){
        A=T^n;
        LL ans=A.a[][]+A.a[][]+A.a[][]+A.a[][];
        printf("%lld\n",ans%MOD);
    }

    return ;
}
        

学到了一种很有趣的递推思路。

3）设f(i)为字符串长度为i时符合条件的字符串个数。枚举最后几位字符。

4）当最后一个字符为0 (m)时前n-1个字符没有限制，即为f(n-1)；

当最后一个字符为1(f)时要考虑不满足的情况，那考虑最后两个字符为01(mf)和11(ff)的情况，显然要继续考虑。最后3个字符为101(fmf)、111(fff)显然不满足条件，最后3个字符为001(mmf),前n-3个字符没有限制，最后三个字符为011则要继续考虑，最后四个字符为0011，前n-4个字符没有限制，最后4个字符为1011不满足条件。综上f(n)=f(n-1)+f(n-3)+f(n-4)

数列：f(0)=1、f(1)=2、f(2)=4、f(3)=6、f(4)=9、f(5)=15 ...

添加一下:f(-1)=1、f(-2)=1、f(-3)=0;

5）构造矩阵

$\left[ \begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array} \right] $

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
using namespace std;
typedef long long LL;
int MOD;
struct Matrix{
    LL a[][];
    void init(int f){
        memset(a,,sizeof a);
        if(f==-)return;
        for(int i=;i<;++i)a[i][i]=;
    }
};
Matrix operator*(Matrix& A,Matrix& B){
    Matrix C;C.init(-);
    for(int i=;i<;++i)
    for(int j=;j<;++j)
        for(int k=;k<;++k){
            C.a[i][j]+=A.a[i][k]*B.a[k][j];
            C.a[i][j]%=MOD;
        }
    return C;
}
Matrix operator^(Matrix A,int n){
    Matrix Rt;Rt.init();
    for(;n;n>>=){
        if(n&)Rt=Rt*A;
        A=A*A;
    }
    return Rt;
}
int main(){
    int n;
    Matrix A,T;
    T.a[][]=T.a[][]=T.a[][]=;T.a[][]=;
    T.a[][]=;T.a[][]=T.a[][]=;T.a[][]=;
    T.a[][]=;T.a[][]=;T.a[][]=T.a[][]=;
    T.a[][]=T.a[][]=;T.a[][]=T.a[][]=;
    for(;~scanf("%d%d",&n,&MOD);){
        A=T^n;
        LL ans=A.a[][]+A.a[][]+A.a[][];
        printf("%lld\n",ans%MOD);
    }

    return ;
}