Codeforces 1248C Ivan the Fool and the Probability Theory(推公式)

题意

一个n*m的网格图，每个格子可以染黑色、白色，问你每个格子最多有一个相邻颜色相同的方案数

n,m<=1e5

思路

我们先处理\(1 \times m\)的情况

设\(f[i][j]\)为前\(i\)个格子，最后一个为\(j\)的方案数

可以得到递推式\(f[i][j]=f[i-1][j\bigoplus 1]+f[i-2][j\bigoplus 1]\)

那么\(1\times m\)的答案为\(f[m][0]+f[m][1]\)

引理

这题中的合法的染色图相邻两行要么完全相同，要么完全相反

证明：

假设第\(i\)行和第\(i+1\)行部分相同，部分相反，设白色是\(0\)，黑色是\(1\)

那么就存在一个位置\(j\)，使得\(a[i+1][j]=a[i][j],a[i+1][j+1]!=a[i][j+1]\)(先不等后相等一样)

因为这四个方格可选的颜色只有两个，所以在\(a[i+1][j+1]\)和\(a[i][j+1]\)中一定有一个和\(a[i+1][j]\)与\(a[i][j+1]\)相同

也就是说，这四个方格中出现了三个一样的颜色，无论怎么组合都不满足题意，

所以不存在部分相同部分相反，引理得证

有了以上结论，我们可以可以找"什么时候完全相同，什么时候完全相反"了

可以发现，当一行里存在连续两个连续一样的颜色的时候，下一行一定与该行相反

也就是说，如果确定了第一行，里面有两个连续一样的颜色，对答案的贡献为1

第一行的这种情况方案数为\(f[m][0]+f[m][1]-2\)

而排除的这两种，就是第一行为\(10101010..\)和\(01010101..\)两种方案

由于引理的存在，我们可以知道，当每一行的第一个元素确定的时候，我们就确定了这行跟上一行完全相同还是相反

所以这种情况的贡献就是第一列的合法方案数，即\(f[n][0]+f[n][1]\)

终上所述，答案为\(f[m][0]+f[m][1]+f[n][0]+f[n][1]-2\)

代码

ll n,m;
ll f[maxn][3];
ll F[maxn];
int main(){
    scanf("%lld %lld", &n, &m);
    f[1][0]=f[1][1]=1;
    f[2][0]=f[2][1]=2;
    F[1]=2;F[2]=4;
    for(int i = 3; i <= max(n,m); i++){
        f[i][1]=(f[i-1][0]+f[i-2][0])%mod;
        f[i][0]=(f[i-1][1]+f[i-2][1])%mod;
        F[i]=(f[i][0]+f[i][1])%mod;
    }
    printf("%lld",(F[n]+F[m]-2+mod)%mod);
    return 0;
}