【期望DP+高斯消元】BZOJ3270-博物馆

【题目大意】

有m条走廊连接的n间房间，并且满足可以从任何一间房间到任何一间别的房间。两个男孩现在分别处在a，b两个房间，每一分钟有Pi 的概率在这分钟内不去其他地方（即呆在房间不动），有1-Pi 的概率他会在相邻的房间中等可能的选择一间并沿着走廊过去。求两人在每间房间相遇的概率。

【思路】

向用链表把图建出来，建立的时候不要忘记了自己向自己再加一条边(见下面情况1)

我们将男孩A位于x，男孩B位于y的状态定义为id[x][y]。由id[tx][ty]状态转移到id[i][j]状态的概率。如果当前已经知道了抵达id[i][j]状态的期望概率为F[i,j]。

考虑以下几种可能性：

(1)tx=i且ty=j，说明两者都停留在原地不动，概率为Ptx*Pty*F[i,j];

(2)tx=i且ty≠j，说明男孩B移动了而男孩A没有，概率为Ptx*((1-Pty)/Dty)*F[i,ty]，其中Dty为ty的出度;

(3)tx≠i且ty=j，概率为Pty*((1-Ptx)/Dtx)*F[tx,j];

(4)tx≠i且ty≠j，概率为((1-Ptx)/Dtx)*F[i,ty]*((1-Pty)/Dty)*F[tx,j]。

我们把F看成是未知数，它们前面乘上的看作是系数，对于F[i,j]可以列出以下方程：

F[i,j]=情况(1)+情况(2)+情况(3)+情况(4)。

0=(Ptx*Pty-1)*F[i,j]+情况(2)+情况(3)+情况(4)……(*)

如上 (*)式子总共可以列出n*n个。有一个特例是在其实位置，也就是F(a,b)，由于一开始就位于id[a][b]，也就是说初始时概率就为1了，所以在(*)右边还要加上1，移到等式左边就变成了-1，所以有a[id[aa][bb]][n*n+1]=-1。

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 #include<vector>
 #include<cmath>
 using namespace std;
 const int MAXN=+;
 double f[MAXN*MAXN][MAXN*MAXN],p[MAXN];
 int id[MAXN][MAXN];
 vector<int> E[MAXN];
 double a[MAXN*MAXN][MAXN*MAXN];
 int n,m,aa,bb;

 void init()
 {
     scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&aa,&bb);
     int cnt=;
     for (int i=;i<=n;i++)
         for (int j=;j<=n;j++) id[i][j]=++cnt;
     a[id[aa][bb]][n*n+]=-;
     for (int i=;i<=n;i++) E[i].push_back(i);//不要忘记把自己向自己是可以走的
     for (int i=;i<=m;i++)
     {
         int u,v;
         scanf("%d%d",&u,&v);
         E[u].push_back(v);
         E[v].push_back(u);
     }
     for (int i=;i<=n;i++) scanf("%lf",&p[i]);
 }

 void buildequ()
 {
     for (int i=;i<=n;i++)
         for (int j=;j<=n;j++)
         {
             a[id[i][j]][id[i][j]]--;//位于方程右边系数为1，移到左边系数变成-1
             for (int x=;x<E[i].size();x++)
                 for (int y=;y<E[j].size();y++)
                 {
                     int tx=E[i][x],ty=E[j][y];
                     int fr=id[i][j],to=id[tx][ty];
                     if (tx!=ty)
                     {
                         if (tx==i && ty==j) a[fr][to]+=p[tx]*p[ty];//停留在原地不动
                         else if (tx==i) a[fr][to]+=p[tx]*(-p[ty])/(E[ty].size()-);
                         else if (ty==j) a[fr][to]+=p[ty]*(-p[tx])/(E[tx].size()-);
                         else a[fr][to]+=(-p[tx])*(-p[ty])/(E[ty].size()-)/(E[tx].size()-);
                     }
                 }
         }
 }

 void guass()
 {
     for (int i=;i<=n*n;i++)
     {
         int t=i;
         for (int j=i+;j<=n*n;j++) if (fabs(a[j][i])>fabs(a[t][i])) t=j;
         if (t!=i) for (int j=i;j<=n*n+;j++) swap(a[i][j],a[t][j]);//不要忘记要到n*n+1
         for (int j=i+;j<=n*n;j++)
         {
             double x=a[j][i]/a[i][i];
             for (int k=i;k<=n*n+;k++) a[j][k]-=a[i][k]*x;
         }
     }
     for (int i=n*n;i>=;i--)
     {
         for (int j=i+;j<=n*n;j++) a[i][n*n+]-=a[i][j]*a[j][n*n+];
         a[i][n*n+]/=a[i][i];
     }
 }

 void printans()
 {
     for (int i=;i<=n;i++) printf("%.6lf ",a[id[i][i]][n*n+]);
 }

 int main()
 {
     init();
     buildequ();
     guass();
     printans();
     return ;
 }