noip 模拟赛 After 17（递推+特殊的技巧）

来源：Violet_II T1

好神的一题，我竟然没做出来QAQ

首先我们发现，答案是sigma(x[i]*x[j], i>j)+sigma(y[i]*y[j], i>j)。显然只需要讨论左边的就行了，右边就可以同理了。

我们发现sigma(x[i]*x[j], i>j)=(sigma(x[i])^2-sigma(x[i]^2))/2，减号后边和除以2显然是常数也就是说确定了x[i]也就确定了值。但是x[i]的值有哪些可以取呢？我们发现在sigma(x[i]*x[j], i>j)中，因为x[j]的取值与x[i]无关，所以对于x[i]，假定所有i>j都确定了，那么也就是x[i]*sigma(x[j])，所以这是一个一次函数，我们对他取极值就行了。那么x[i]的值我们确定了，就是给定数据的x[i]或-x[i]。

那么问题转化为求最小的|sigma(x[i])|，注意这是绝对值。

我们考虑像背包那样，d[i][j]表示前i个物体，体积为j是否能被取到，那么

d[i][j+a[i]]=1 当 d[i-1][j]=1

d[i][j-a[i]]=1 当 d[i-1][j]=1

初始化 d[0][0]=1

那么就行了。。。。

好神。。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <string>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <map>
typedef long long ll;
#define read(x) x=getint()
#define dbg(x) cout << (#x) << " = " << x << endl
#define rep(i, n) for(int i=0; i<(n); ++i)
#define for1(i, a, n) for(int i=(a); i<=(n); ++i)
#define for2(i, a, n) for(int i=(a); i<(n); ++i)
#define for3(i, a, n) for(int i=(a); i>=(n); --i)
#define for4(i, a, n) for(int i=(a); i>(n); --i)
#define CC(a, n) memset(a, n, sizeof(a))
using namespace std;
inline const ll getint() { ll r=0, k=1; char ch=getchar(); for(; ch<'0'||ch>'9'; ch=getchar()) if(ch=='-') k=-1; for(; ch>='0'&&ch<='9'; ch=getchar()) r=r*10+ch-'0'; return r*k; }
inline const int max(const int &a, const int &b) { return a>b?a:b; }
inline const int min(const int &a, const int &b) { return a<b?a:b; }

const int N=400;
int x[N], y[N], n, ans;
bool d[2][N*N*2];

int dp(int *a) {
	int sum=0, S=N*N, pos=0;
	CC(d, 0);
	d[pos^1][S]=1;
	for1(i, 1, n) {
		for1(j, S-sum-a[i], S+sum+a[i]) d[pos][j]=0;
		for1(j, S-sum-a[i], S+sum+a[i]) if(d[pos^1][j]) d[pos][j+a[i]]=1, d[pos][j-a[i]]=1;
		sum+=a[i];
		pos^=1;
	}
	pos^=1;
	int mn=~0u>>1;
	for1(i, S, S+sum) if(d[pos][i]) { mn=min(mn, i-S); break; }
	for3(i, S, S-sum) if(d[pos][i]) { mn=min(mn, S-i); break; }
	return mn*mn;
}

int main() {
	read(n);
	for1(i, 1, n) read(x[i]), read(y[i]);
	for1(i, 1, n) ans-=x[i]*x[i];
	for1(i, 1, n) ans-=y[i]*y[i];
	ans+=dp(x);
	ans+=dp(y);
	printf("%.2lf\n", (double)ans/(double)2);
	return 0;
}

　　

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