洛谷 P4321 【随机漫游】

题目大意

给出\(n(n\leq 18)\)个点的无向连通图，\(m(m\leq 10^5)\)次询问。每次询问给出一个点集和一个起点\(s\)，询问从\(s\)出发，经过这个点集中的每一个点至少一次的期望步数。

题目分析

经过这个点集每一个点至少一次的期望步数，就是到达点集最后一个点的期望步数。这个直接算貌似不好求，考虑min-max容斥。

对于每一个起点，\(\max(S)=\sum\limits_{T \subseteq S}(-1)^{|T|-1}\min(T)\)

\(\max(S)\)表示到达点集\(S\)中的最后一个点的期望步数。

\(\min(S)\)表示到达点集\(S\)中的最初一个点的期望步数。

怎么求\(\min(T)\)呢？

枚举集合\(T\)，设其补集为\(C\)，设对于点\(x\)的\(\min(T)\)为\(f_x\)。

对于\(T\)中的点\(x\)，显然\(f_x=0\)

对于\(C\)中的点\(x\)，\(f_x=\frac{1}{d_x}\sum\limits_{(x,y)\in E}f_y+1\)

那么就可以高斯消元了。

如何快速计算\(\max(S)\)呢？

FWT\(O(n* 2^n)\)计算子集贡献已经是常规操作了。