avl树的操作证明

　　以下用大O表示节点，ABC表示三个集合。

　　仅分析左子树的情况，因为对称，右子树的情况一样。

　　插入节点前

　　　　　　O

　　　　　/     \

　　　　O        A

　　   /    \

B       C

　　插入节点后：

　　　　　　O

　　　　　/     \

　　　　O        A

　　   /    \

B       C

/

O

此时造成了最高节点的不平衡，说明了B+2 - A = 2;另外可以知道B = C,考虑B<C,那么在插入节点前最高点就已经不平衡了，考虑B > C,那么最高的左子树就已经不平衡了，而不应该考虑最高点。所以此时可以知道A = B = C。

　　左子树单旋转之后：

　　　　　　O

　　　　　/     \

　　　　B        O

　　   /          /    \

O         C       A

　　对于最高点来说，左子树深度为B+1,右子树深度为A+1，即B + 1。

　　对比插入后的树，可以知道只有原最高节点的深度发生变化，所以只需更新该节点的深度。

另外一种情况：

插入后：

　

　　　　　　O

　　　　　/     \

　　　　O        A

　　   /    \

B       C

/

O

此时如果单旋转，结果为：

　　　　　　O

　　　　　/     \

　　　　B        O

　　               /    \

C       A

/

O

明显这个情况并没有得到解决。

所以首先要单右旋转最高节点的左子树，结果为：

　　　　　　O

　　　　　/     \

　　　　C        A

　　   /    \

O       O

/

B

此时可以知道C集合的深度发生了变化，需要更新C的深度，而之前更新的是最高点的深度，所以在旋转时需要更新原最高点和现最高点的深度。

第二次左旋转原最高点，结果为

　　　　　　C

　　　　　/     \

　　　　O        O

　　   /         /    \

B        O       A

这里面的正确有一些缺陷，应该把ABC集合多展开几层，否则在双旋转时的证明有些怪异，反正就是这个思路，因为画图实在是太麻烦了。

最后是代码：

　　

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <unistd.h>
typedef struct _node
{
    int element;
    int high;
    struct _node *lefttree;
    struct _node *righttree;
}node;

int gethigh(node *t)
{
    if(t == )
        return -;
    return t->high;
}

node *singlerotatewithleft(node *t)
{
    node *tmp = t->lefttree;
    t->lefttree = tmp->righttree;
    tmp->righttree = t;

    tmp->high = ((gethigh(tmp->lefttree) > gethigh(tmp->righttree))?gethigh(tmp->lefttree):gethigh(tmp->righttree)) + ;
    t->high = ((gethigh(t->lefttree) > gethigh(t->righttree))?gethigh(t->lefttree):gethigh(t->righttree)) + ;
    return tmp;
}

node *singlerotatewithright(node *t)
{
    node *tmp = t->righttree;
    t->righttree = tmp->lefttree;
    tmp->lefttree = t;

    tmp->high = ((gethigh(tmp->lefttree) > gethigh(tmp->righttree))?gethigh(tmp->lefttree):gethigh(tmp->righttree)) + ;
    t->high = ((gethigh(t->lefttree) > gethigh(t->righttree))?gethigh(t->lefttree):gethigh(t->righttree)) + ;
    return tmp;
}

node *doubleroratewithleft(node *t)
{
    t->lefttree = singlerotatewithright(t->lefttree);
    return singlerotatewithleft(t);
}

node *doubleroratewithright(node *t)
{
    t->righttree = singlerotatewithleft(t->righttree);
    return singlerotatewithright(t);
}

node *insert(node *t,int element)
{
    if (t == )
    {
        t = (node *)malloc(sizeof(node));
        t->element = element;
        t->lefttree = t->righttree = ;
    }
    else if(t->element > element){
        t->lefttree = insert(t->lefttree,element);
        if(gethigh(t->lefttree) - gethigh(t->righttree) == )
            if(element < t->lefttree->element)
                t= singlerotatewithleft(t);
            else
                t= doubleroratewithleft(t);
    }
    else if(t->element < element){
        t->righttree = insert(t->righttree,element);
        if(gethigh(t->righttree) - gethigh(t->lefttree) == )
            if(element > t->righttree->element)
                t= singlerotatewithright(t);
            else
                t= doubleroratewithright(t);

    }
    t->high = ((gethigh(t->lefttree) > gethigh(t->righttree))?gethigh(t->lefttree):gethigh(t->righttree)) + ;
    return t;
}

node *find(node *t,int element)
{
    if(t == )
        return ;
    else if(t->element > element)
        return find(t->lefttree,element);
    else if(t->element < element)
        return find(t->righttree,element);
    else
        return t;
}

node* findmin(node *t)
{
    if(t == )
        return ;
    if(t->lefttree == )
        return t;
    else
        return findmin(t->lefttree);
}

node *delele(node *t,int element)
{
    if(t == )
        return ;
    else if(t->element > element)
        t->lefttree = delele(t->lefttree,element);
    else if(t->element < element)
        t->righttree = delele(t->righttree,element);
    else
    {
        if(t->lefttree && t->righttree)
        {
            node *tmp;
            tmp = findmin(t->righttree);
            t->element = tmp->element;
            t->righttree = delele(t->righttree,tmp->element);
        }
        else
        {
            node *tmp;
            tmp = t->lefttree?t->lefttree:t->righttree;
            free(t);
            t = tmp;
        }
    }
    return t;
}

void printtree(node *t)
{
    if(t == )
        return;
    printtree(t->lefttree);
    printf("%d\t",t->element);
    printf("high = %d\n",t->high);
    printtree(t->righttree);
}

int main()
{
    int a[] = {,,,,,,,,};
    node *t;
    int i = ;
    t = insert(,);
    for(;i<;i++){
        t = insert(t,a[i]);
        //printtree(t);
        //sleep(1);
    }
        //t = delele(t,6);
    printtree(t);
    printf("\n");
    //while(1);
    return ;
}