Codeforces 1375F - Integer Game（交互）

Codeforces 题面传送门 & 洛谷题面传送门

一个奇怪的做法。

首先我们猜测答案总是 First。考虑什么样的情况能够一步把对方一步干掉。方便起见我们假设 \(a<b<c\)，那么如果 \(b-a=c-b\)，并且上一步后手选择操作 \(c\)，那么我们只需令 \(y=b-a\)，不论后手再选择了哪一堆，总会出现两个石子数相同的堆，后手也就挂了。我们考虑怎样将所有情况归约到这种情况，经过仔细（反正这一步我是想了 ~1h）的思考，我发现对于 \(a,b,c\) 成等差数列，且上一步选择的是 \(a\) 对应的堆的情况也能把对方干掉，具体构造就是

令 \(d=b-a\)，然后

• 第一步，选择 \(y=d\)，那么此时后手只能选 \(c\)​ 对应的堆，此时三堆分别是 \(a,a+d,a+3d\)
• 第二步，选择 \(y=5d\)，那么如果后手选择第一堆，那么三堆分别是 \(a+5d,a+d,a+3d\)，回到了上面一次操作即可挂掉的情况。如果后手选择第二堆，那么三堆分别是 \(a,a+6d,a+3d\)，也回到了上面的情况。

我们考虑如何将一般性的情况归约到上面两种情况。我们假设 \(d_1=b-a,d_2=c-b\)，那么我们考虑这样一个做法，令 \(y=d_1-d_2\)，那么

• 如果后手选第一堆，就回到了上面等差数列、且一步即可干掉的情况
• 如果后手选第三堆，就回到了上面等差数列、且两步（第一次 \(y=d\)，第二次 \(y=5d\)）可以干掉的情况
• 如果后手选择第二堆，那么我们再次假设 \(d_1’=b-a,d_2’=c-b\)，并且假设 \(b+d_1-d_2<c\) 恒成立，那么我们再令 \(y=d’_1-d’_2\)，就回到了上面的情况，又因为此时后手显然不能选第二堆，因此不会出现递归，也就证明了构造的正确性。

但是这个做法要能够行得通需要有一些条件，首先你第一次必须有 \(y>0\)，因此需有 \(d_1>d_2\)，还有就是第二步中我们有 \(b+d_1-d_2<c\) 的假设，即 \(d_1<2d_2\)，因此该做法行得通的条件是 \(d_2\le d_1<2d_2\)（至于为什么左边可以取等，是因为 \(d_1=d_2\) 的情况本身就是等差数列，可以归约到上面的第二种情况）。考虑怎样将其他情况转化为这两种情况，每次只需令 \(y=d_1+d_2\) 直到 \(d_2\le d_1<2d_2\) 成立即可。证明大概就，从第一次操作结束以后开始，我们每次操作的元素肯定会成为三个数的最大值对吧，那么从第一轮以后后手只能操作中间那个元素，因此问题可以转化为这样一个问题，有两个数 \(x,y\)，每次操作需执行 \(\text{swap}(x,y)\)，并令 \(x\leftarrow x+y\)，问什么时候 \(y\le x<2y\) 成立，如果 \(x\ge 2y\)，那么进行一次操作以后 \(x\le x+y<2x\) 符合条件；如果 \(x<y\)，那么换完以后 \(x\leftarrow x+y,y\leftarrow x\)，回到了 \(x\ge 2y\) 的情况，因此我们总可以将问题转化为 \(d_2\le d_1<2d_2\) 的情况。

int _1,_2,_3;
pair<ll,int> a[4];int flg=0;
void getid(){sort(a+1,a+4);_1=a[1].se,_2=a[2].se,_3=a[3].se;}
void prt(){
	for(int i=1;i<=3;i++) for(int j=1;j<=3;j++) if(a[j].se==i)
		printf("%d%c",a[j].fi," \n"[i==3]);
	printf("%d %d %d\n",_1,_2,_3);
}
void oper(ll x){
	if(!x) return;
	printf("%lld\n",x);fflush(stdout);
	int p;scanf("%d",&p);
	if(!p) exit(0);
	if(p==_1) a[1].fi+=x,flg=1;
	if(p==_2) a[2].fi+=x,flg=2;
	if(p==_3) a[3].fi+=x,flg=3;
//	prt();
	getid();
}
void work(int stage){
	if(stage==2){
		oper(abs(a[3].fi-a[2].fi));
	} else {
		oper(abs(a[3].fi-a[2].fi));
		oper(5*abs(a[2].fi-a[1].fi));
		work(2);
	}
}
int main(){
	scanf("%lld%lld%lld",&a[1].fi,&a[2].fi,&a[3].fi);puts("First");
	a[1].se=1;a[2].se=2;a[3].se=3;getid();
	if(2ll*a[2].fi==a[1].fi+a[3].fi) work(1);
	else{
		ll d1=abs(a[2].fi-a[1].fi),d2=abs(a[3].fi-a[2].fi);
		while(d2*2<d1||d1<d2){
			oper(d1+d2);d1=abs(a[2].fi-a[1].fi);
			d2=abs(a[3].fi-a[2].fi);
		} //puts("-1");
		oper(abs(d1-d2));
		if(flg==1) work(1);
		else if(flg==2){
			d1=abs(a[2].fi-a[1].fi),d2=abs(a[3].fi-a[2].fi);
			oper(abs(d1-d2));
			if(flg==1) work(1);
			else work(2);
		} else work(2);
	}
	return 0;
}