DAGs with NO TEARS: Continuous Optimization for Structure Learning

DAGs with NO TEARS: Continuous Optimization for Structure Learning

Zheng X., Aragam B., Ravikumar P. and Xing E. DAGs with NO TEARS: Continuous Optimization for Structure Learning. In Advances in Neural Information Processing Systems (NIPS), 2018.

概

有向图可以用邻接矩阵$A \in \{0, 1\}^{d \times d}$来表示, 其中$A_{ij} = 1$ 表示 node $i$ 指向 node $j$. 进一步的, 我们想要表示有向无环图(DAG), 则$A$需要满足额外的性质, 保证无环.

现在的问题是, 有一堆观测数据$X \in \mathbb{R}^{n \times d}$, 如何通过这些数据推测其(特征之间的)关系, 即对应的$A$.

主要内容

首先, 假设特征之间满足一个线性关系:

\[X_j = w_j^T X + z_j,
\]

其中

\[W = [w_1|w_2|\cdots|w_d] \in \mathbb{R}^{d},
\]

$z$为随机的噪声.

通过$W$可以推出相应的$A=\mathcal{A}(W)$, 即

\[W_{ij} \not = 0 \Leftrightarrow A_{ij} = 1, W_{ij} =0 \Leftrightarrow A_{ij} = 0.
\]

故我们目标通常是:

\[\min_{W} \quad \ell(W;X) = \frac{1}{2n}\|X - XW\|_F^2, \\
\mathrm{s.t.} \quad \mathcal{A}(W) \in \mathbb{D},
\]

其中$\mathbb{D}$表示有向无环图.

进一步地, 因为我们希望$W$是一个系数的矩阵(否则断然不是DAG), 故

\[F(W;X) = \ell(W;X) + \lambda \|W\|_1,
\]

并

\[\min_W \quad F(W;X) \\
\mathrm{s.t.} \quad \mathcal{A}(W) \in \mathbb{D}.
\]

显然现在的关键是如何处理$\mathcal{A}(W) \in \mathbb{D}$这个条件, 以前的方法通常需要复杂的运算, 本文提出一种等价的条件

\[h(W) = 0,
\]

满足

$h(W)= 0$当且仅当$\mathcal{A}(W) \in \mathbb{D}$;
$h(W)$越小, 说明$\mathcal{A}(W)$越接近无环图;
$h(W)$是一个光滑函数;
$h(W)$便于求导.

显然1是期望的, 2可以用于判断所得的$W$的优劣, 3, 4便于我们用数值方法求解.

等价条件的推导

$\mathrm{tr}(I-W)^{-1} = d$

Proposition 1: 假设$W \in \mathbb{R}_+^{d \times d}$ 且 $\|W\| < 1$, 则$\mathcal{A}(W)$能够表示有向无环图当且仅当

\[\mathrm{tr}(I - W)^{-1} = d.
\]

proof:

$A = \mathcal{A}(W)$能够表示有向无环图, 当且仅当

\[\mathrm{tr}(A^k) = 0 \Leftrightarrow \mathrm{tr} (W^k) = 0, \forall\: k=1,\cdots
\]

$\Rightarrow$

由于$\|W\| < 1$(最大奇异值小于1), 故

\[\mathrm{tr}(I-W)^{-1} = \mathrm{tr}(\sum_{k=0} W^k) = \mathrm{tr}(I) = d.
\]

$\Leftarrow$

$\mathrm{tr}(W^k) \ge 0$, 故

\[\mathrm{tr}(I-W)^{-1} = d
\]

当且仅当

\[\mathrm{tr}(W^k) = 0.
\]

注: $\|W\| < 1$这个条件并不容易满足.

$\mathrm{tr}(e^W)=d$

注: $e^A = I + \sum_{k=1} \frac{A^k}{k!}$.

Proposition 2: 假设$W \in \mathbb{R}_+^{d \times d}$, 则$\mathcal{A}(W)$能够表示有向无环图当且仅当

\[\mathrm{tr}(e^W) = d.
\]

proof:

证明是类似的.

注: 此时对$W$的最大奇异值没有要求.

$\mathrm{tr}(W^k) = 0$

这部分的证明可能应该归属于DAG-GNN.

Proposition 3: 假设$W \in \mathbb{R}_+^{d \times d}$ , 则$\mathcal{A}(W)$能够表示有向无环图当且仅当

\[\mathrm{tr}(W^k) = 0, \: k=1,2,\cdots, d.
\]

proof:

$\Rightarrow$是显然的, 证明$\Rightarrow$只需说明

\[\mathrm{tr}(W^k)=0, \: k=1,2,\cdots, d \Rightarrow \mathrm{tr}(W^k), \: k\ge 1.
\]

假设$W$的特征多项式为$p(\lambda) = \sum_{k=0}^d \beta_k \lambda^k, \beta_d=1$, 则有

\[p(W) = \sum_{k=0}^d \beta_k W^k = 0.
\]

进一步有

\[W^{d} = -\sum_{k=0}^{d-1} \beta_k W^k \Rightarrow W^{d+1} = -\sum_{k=1}^d \beta_k W^{k+1} \Rightarrow \mathrm{tr}(W^{d+1}) = -\sum_{k=1}^d \beta_k \mathrm{tr}(W^{k+1}) = 0.
\]

由归纳假设可知结论成立.

Corollary 1: 假设$W \in \mathbb{R}_+^{d \times d}$ , 则$\mathcal{A}(W)$能够表示有向无环图当且仅当

\[\mathrm{tr}(I+W)^d=d.
\]

$\mathrm{tr}(e^{W \circ W}) =d$

注: $\circ$ 表示哈达玛积, 即对应元素相乘.

上面依然要求$W$各元素大于0, 一个好的办法是:

Theorem 1: 一个矩阵$W \in \mathbb{R}^{d \times d}$, 则$\mathcal{A}(W)$ 能表示有向无环图当且仅当

\[\mathrm{tr}(e^{W \circ W}) =d.
\]

proof:

$\mathcal{A}(W)=\mathcal{A}(W \circ W)$.

$\mathrm{tr}(I + W \circ W)^d =d$

Theorem 2: 一个矩阵$W \in \mathbb{R}^{d \times d}$, 则$\mathcal{A}(W)$ 能表示有向无环图当且仅当

\[\mathrm{tr}(I + W \circ W)^d =d.
\]

注: $W \circ W$前面加个系数也是没关系的.

性质的推导

故, 此时我们只需设置

\[h(W) = \mathrm{tr}(e^{W\circ W}) - d
\]

显然满足1,2,3, 接下来我们推导其梯度

\[\begin{array}{ll}
\mathrm{d}h(W)
&= \mathrm{d}\: \mathrm{tr} (e^{W\circ W}) \\
&= \mathrm{tr} (\mathrm{d}e^{W\circ W}) \\
&= \mathrm{tr} (\mathrm{d}\sum_{k=1} \frac{M^k}{k!}) \\
&=\sum_{k=1} \mathrm{tr} ( \frac{\mathrm{d}M^k}{k!}) \\
&=\sum_{k=0} \mathrm{tr} ( \frac{M^k \mathrm{d}M}{k!}) \\
&= \mathrm{tr}(e^{W\circ W} \cdot \mathrm{d}(W\circ W)) \\
&= \mathrm{tr}(e^{W\circ W} \cdot (2W \circ \mathrm{d} W)) \\
&= \mathrm{tr}(e^{W\circ W} \circ 2W^T \cdot \mathrm{d} W) \\
\end{array}
\]

故

\[\nabla h(W) = (e^{W\circ W})^T \circ W.
\]

注: 其中$M =W \circ W$.

求解

利用augmented Lagrangian转换为(这一块不是很懂, 但只是数值求解的东西, 不影响理解)

\[\min_W \max_{\alpha}\quad \ell (W;X) +\lambda \|W\|_1 + \frac{\rho}{2}|h(W)|^2 + \alpha h(W),
\]

具体求解算法如下:

代码

原文代码