AT2390-[AGC016F]Games on DAG【状压dp,SG函数】

正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/AT2390

---

解题思路

\(n\)个点的\(DAG\)，\(m\)条边可有可无，\(1\)和\(2\)上有石头。求有多少种方案使得先手必胜。

\(1\leq n\leq 15,1\leq m\leq \frac{n(n-1)}{2}\)

---

解题思路

这个复杂度比较麻烦，要设计一个比较巧妙的\(dp\)。

考虑到题目是问多少种情况\(SG(1)\neq SG(2)\)，其实求\(SG(1)=SG(2)\)的方案会更简单些。

设\(f_{S}\)表示目前只考虑了生成子图\(S\)时\(SG(1)=SG(2)\)的方案数，那么若从\(T\)转移到\(S\)时我们可以构造一种方案使得\(T\)的所有点内的\(SG\)加一，然后\(S/T\)的所有点的\(SG\)为\(0\)。

也就相当于我们把点按照\(SG\)大小分成若干层，然后一层一层转移进去。好了现在考虑怎么转移\(f_S\)，我们枚举它的子集\(T\)，那么\(S/T\)就是它的下一层，也就是目前\(S/T\)内的点\(SG=0\)。

对于\(T\)内的每个点，我们需要连接至少一个\(S/T\)内的点，对于\(S/T\)内的点，可以随意连接\(T\)内的点，枚举一下点集统计方案就好了。

时间复杂度\(O(3^nn)\)

---

code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=15,P=1e9+7;
ll n,m,ans,f[1<<N],c[1<<N],e[N];
vector<int>q[N];
signed main()
{
	scanf("%lld%lld",&n,&m);
	for(ll i=1;i<=m;i++){
		ll x,y;
		scanf("%lld%lld",&x,&y);
		x--;y--;e[x]|=(1<<y);
	}
	ll MS=(1<<n),o=0;c[0]=1;
	for(ll i=1;i<MS;i++)c[i]=c[i-(i&-i)]*2;
	for(ll s=0;s<MS;s++){
		if((s&1)!=((s>>1)&1))continue;
		f[s]=1;
		for(ll t=(s-1)&s;t;t=(t-1)&s){
			ll buf=f[t];
			for(ll i=0;i<n;i++){
				if((t>>i)&1)buf=buf*(c[(s^t)&e[i]]-1)%P;
				if(((s^t)>>i)&1)buf=buf*c[t&e[i]]%P;
			}
			(f[s]+=buf)%=P;
		}
	}
	ll ans=1;
	while(m)m--,ans=ans*2%P;
	printf("%lld\n",(ans-f[MS-1]+P)%P);
	return 0;
}