n, n+1, ..., 2n 中的 5 数环初探

本篇是 IMO 2021 第一题题解及相关拓展问题分析 和 IMO 2021 第 1 题拓展问题的两个极值的编程求解 的延伸篇。

从上两篇的分析，可知：

当 n < 48 时，n, n+1, ..., 2n 中没有奇数环；当 n ≥ 99 时，n, n+1, ..., 2n 中有 3 数环。

而当 48 ≤ n ≤ 98 时，n, n+1, ..., 2n 中，根据 n 取值的不同，存在没有奇数环的情形，也存在有奇数环的情形。并在有奇数环的情形中，大多数都存在 3 数环，只有 3 个例外情形，即：

(1). n = 49，n, n+1, ..., 2n 中无 3 数环，但有 5 数环：49, 51, 70, 74, 95；

(2). n = 71，n, n+1, ..., 2n 中无 3 数环，但有 5 数环：71, 73, 96, 100, 125；

(3). n = 97，n, n+1, ..., 2n 中无 3 数环，但有 5 数环：97, 99, 126, 130, 159。

对比这 3 个例外情形，可以发现它们有一些有意思的共同特征：

I. 三者的最小奇数环都是 5 数环，且构成 5 数环的 5 个数都可以按从小到大的顺序排列；

II. 三者的 5 数环中最小的两个数都是奇数，且两数的差都为 2；

III. 三者的 5 数环中大小居中的数以及更大的那个数都是偶数，且两数的差都为 4；

IV. 三者的 5 数环中最大的数都是奇数；

V. 三者的 5 数环中最小的数就等于 n。

把 5 数环中的 5 个数按从小到大分别记为 a, b, c, d, e，构建的 5 个完全平方数分别为 a+b, b+c, c+d, d+e, e+a。n = 49 时，对应的 5 数环构建的 5 个完全平方数为 49+51=100，51+70=121，70+74=144，74+95=169，95+49=144，亦即 10²，11²，12²，13²，12²。

同样可得：

n = 71 时，对应的 5 数环构建的 5 个完全平方数为 12²，13²，14²，15²，14²。

n = 97 时，对应的 5 数环构建的 5 个完全平方数为 14²，15²，16²，17²，16²。

对比发现，3 组完全平方数都呈现出 (2m-2)²，(2m-1)²，(2m)²，(2m+1)²，(2m)² 的形态，于是有

a + b = 4m² - 8m + 4    ①

b + c = 4m² - 4m + 1     ②

c + d = 4m²                   ③

d + e = 4m² + 4m + 1    ④

e + a = 4m²                   ⑤

由 ② - ① 有 c - a = 4m - 3，由 ③ + ⑤ - ④ 有 c + a = 4m² - 4m - 1

进而可得：

a = 2m² - 4m + 1, b = 2m² - 4m + 3, c = 2m² - 2, d = 2m² + 2, e = 2m² + 4m - 1

上面 3 个 5 数环分别对应 m = 6, 7, 8 的情形。

考察一下 m = 5 的情形，a = 50 - 20 + 1 = 31，b = 33，c = 48，d = 52，e = 69，即 (31, 33, 48, 52, 69) 构成一个 5 数环，但由于 31·2 = 62 < 69，可知 n = 31 时，n, n+1, ..., 2n 中并不存在这个 5 数环。m = 2,3,4 的情形有同样的结论。

再考察一下 m = 9 的情形，a = 162 - 36 + 1 = 127，b = 129，c = 160，d = 164，e = 197，即 (127, 129, 160, 164, 197) 构成一个 5 数环，而且 127·2 = 254 > 99·2 = 198 > 197，说明当 99 ≤ n ≤ 127 时，n, n+1, ..., 2n 中存在这个 5 数环，但由前面的分析已知 n ≥ 99 时，n, n+1, ..., 2n 中还存在阶数更小的奇数环（即 3 数环）。m > 9 的情形有同样的结论。