26考研高数习题：1.1. 分段&复合函数

§1.1. 分段&复合函数

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001

题目

设 \(g⁡⁡\left(x\right) = \left\{\begin{matrix} 2−x, & x⩽0, \\ x + 2, & x > 0, \\ \end{matrix}f⁡⁡\left(x\right) = \left\{\begin{matrix} x^{2}, & x < 0, \\ −x, & x⩾0, \\ \end{matrix}\right.\right.\) 则 \(g [ f ( x ) ] =\) ()

(A) \(\left\{ \begin{array} { l l } 2 + x ^ { 2 } , & x < 0 , \\ 2 - x , & x \geqslant 0 . \end{array} \right.\) (B) \(\left\{ \begin{array} { l l } 2 - x ^ { 2 } , & x < 0 , \\ 2 + x , & x \geqslant 0 . \end{array} \right.\)

(C) \(\left\{ \begin{array} { l l } 2 - x ^ { 2 } , & x < 0 , \\ 2 - x , & x \geqslant 0 . \end{array} \right.\) (D) \(\left\{ \begin{array} { l l } 2 + x ^ { 2 } , & x < 0 , \\ 2 + x , & x \geqslant 0 . \end{array} \right.\)

知识点

• 含有平方的分段函数

解析

分段分析如下：

• 当 \(x < 0\) 时，\(f ( x ) = x ^ { 2 } > 0\), 所以 \(g [ f ( x ) ] = g \left( x ^ { 2 } \right) = x ^ { 2 } + 2\);

• 当 \(x \geqslant 0\) 时，$f ( x ) = - x \leqslant 0 $, 所以 \(g [ f ( x ) ] = g ( - x ) = 2 - ( - x ) = 2 + x\).

综上 \(g [ f ( x ) ] = \left\{ \begin{array} { l l } 2 + x ^ { 2 } , & x < 0 , \\ 2 + x , & x \geqslant 0 . \end{array} \right.\)

于是可知，本题应选 (D).

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002

题目

已知 \(f ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } 1 , & | x | \leqslant 1 , \\ 0 , & | x | > 1 , \end{array} \right.\) 则 \(f \{ f [ f ( x ) ] \}\) 等于()

(A) 0 (B)1 (C) \(\left\{ \begin{array} { l l } 1 , & | x | \leqslant 1 , \\ 0 , & | x | > 1 . \end{array} \right.\) (D) \(\left\{ \begin{array} { l l } 0 , & | x | \leqslant 1 , \\ 1 , & | x | > 1 . \end{array} \right.\)

知识点

• 含有根号的分段函数

解析

由于 \(f ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } 1 , & | x | \leqslant 1 , \\ 0 , & | x | > 1 , \end{array} \right.\) 所以 $| f ( x ) | \leqslant 1 $, 于是：

\[f [ f ( x ) ] = \left\{ \begin{array} { l l } 1 , & | f(x) | \leqslant 1 , \\ 0 , & | f(x) | > 1 , \end{array} \right. = f ( 1 ) = 1
\]

类似地，可得 $f { f [ f ( x ) ] } = f ( 1 ) = 1 $.

于是可知，本题应选 (B).

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003

题目

已知 \(f ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } x ^ { 2 } , & x \leqslant 0 , \\ x ^ { 2 } + x , & x > 0 \end{array} \right.\) 那么 ()

(A) \(f ( - x ) = \left\{ \begin{array} { l l } - x ^ { 2 } , & x \leqslant 0 , \\ - \left( x ^ { 2 } + x \right) , & x > 0 . \end{array} \right.\) (B) \(f ( - x ) = \left\{ \begin{array} { l l } - \left( x ^ { 2 } + x \right) , & x < 0 , \\ - x ^ { 2 } , & x \geqslant 0 . \end{array} \right.\)

(C) \(f ( - x ) = \left\{ \begin{array} { l l } x ^ { 2 } , & x \leqslant 0 , \\ x ^ { 2 } - x , & x > 0 . \end{array} \right.\) (D) \(f ( - x ) = \left\{ \begin{array} { l l } x ^ { 2 } - x , & x < 0 , \\ x ^ { 2 } , & x \geqslant 0 . \end{array} \right.\)

知识点

• 自变量取反的分段函数

解析

分段分析如下：

• 当 \(x < 0\) 时，$- x > 0 $, 故 \(f ( - x ) = ( - x ) ^ { 2 } + ( - x ) = x ^ { 2 } - x\);
• 当 \(x \geqslant 0\) 时，有 $- x \leqslant 0 $, 故 \(f ( - x ) = ( - x ) ^ { 2 } = x ^ { 2 }\).

综上：

\[f ( - x ) = \left\{ \begin{array} { l l } x ^ { 2 } - x , & x < 0 , \\ x ^ { 2 } , & x \geqslant 0 . \end{array} \right.
\]

于是可知，本题应选 (D).

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004

题目

已知 $f ( x ) = \sin x , f [ \varphi ( x ) ] = 1 - x ^ { 2 } $, 则 \(\varphi ( x ) =?\), 其定义域是多少？

知识点

• 复合函数

解析

答案： \(\arcsin \left(1-x^2\right)\) 、\([-\sqrt{2}, \sqrt{2}]\) ．

解析：首先 \(f(x)=\sin x \Rightarrow f[\varphi(x)]=\sin \varphi(x)\)

于是 \(f[\varphi(x)]=1-x^2 \Rightarrow \sin \varphi(x)=1-x^2 \Rightarrow \varphi(x)=\arcsin \left(1-x^2\right)\) .

由于 \(\left|1-x^2\right| \leqslant 1 \Rightarrow -1 \leqslant 1-x^2 \leqslant 1 \Rightarrow 0 \leqslant x^2 \leqslant 2\)

所以 \(|x| \leqslant \sqrt{2} \Rightarrow -\sqrt{2} \leqslant x \leqslant \sqrt{2}\) ，即定义域为 \([-\sqrt{2}, \sqrt{2}]\).

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005

题目

设函数 \(f ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } 1 , & | x | \leqslant 1 , \\ 0 , & | x | > 1 . \end{array} \right.\) 则函数 \(f [ f ( x ) ] = ?\)

知识点

• 分段函数
• 复合函数

解析

答案：1

解析：当 \(|x| \leqslant 1\) 时，\(f(x)=1\) ，故 \(f[f(x)]=f(1)=1\)

当 \(|x|>1\) 时，\(f(x)=0\) ，故 \(f[f(x)]=f(0)=1\)

于是 \(f[f(x)]=1\)

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